/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Kąty

Zadanie nr 1788680

W trójkącie równobocznym ABC obrano na boku BC taki punkt E , że |BE | : |EC | = 1 : 2 . Oblicz tangens kąta ∡BAE .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy bok trójkąta przez a .

PIC

Sposob I

Obliczmy najpierw długość odcinka AE (z twierdzenia cosinusów).

AE 2 = AB 2 + BE 2 − 2AB ⋅BE cos6 0∘ 1 1 9+ 1− 3 7 AE 2 = a2 + -a2 − --a2 = a2 ⋅----------= --a2 √ -- 9 3 9 9 --7- AE = 3 a.

Stosując teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABE mamy

-AE---- -BE-- sin 60∘ = sinα √-7 1 -3√-a --3a- -3- = sin α 2 √ -- √ -- 1 3 3 3 sinα = 3-⋅-2--⋅√---= -√---. 7 2 7

Cosinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- cosα = 1− sin 2α = 1 − -3-= 2-5 = -√5--. 28 2 8 2 7

Zatem szukany tangens wynosi

-√3- √ -- sin-α- 2√-7 --3- tg α = cosα = -√5- = 5 . 2 7

Sposób II

Zauważmy, że ∘ ∘ ∡AEB = 180 − (60 + α ) , więc stosując wzór na sinus sumy mamy

∘ ∘ ∘ sin∡AEB = sin(180 − (60 + α )) = sin (60√ -+ α) = 3 1 = sin6 0∘cos α + sinα cos6 0∘ = ----cos α+ --sin α. 2 2

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABE .

AB EB ---------- = ----- sin∡AEB sin α( √ -- ) 1- --3- 1- -3-- AB sin α = 3AB 2 c osα + 2 sinα / ⋅ AB √ -- 3 1 3sin α = ----cos α+ --sin α 2√ -- 2 5- --3- ---2--- 2 sin α = 2 cosα / ⋅5 cosα √ -- tg α = --3- 5

Sposob III

Zadanie ma znacznie prostsze rozwiązanie, jeżeli wykorzystamy odrobinę więcej geometrii. Dorysujmy wysokość CH oraz równoległy do niej odcinek EF . Szukany tangens możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego AF E , aby jednak móc to zrobić musimy najpierw obliczyć długości odcinków AF i FE . Trójkąty BF E i BHC są podobne oraz znamy ich skalę podobieństwa

BE 1 k = ----= -. BC 3

Mamy stąd

√ -- √ -- EF = 1-⋅CH = 1-⋅ a-3-= a--3- 3 3 2 6 1- 1- 5- FB = 3 ⋅HB = 6a ⇒ AF = 6 a.

Mamy stąd

√ - √ -- EF a-3- 3 tg α = ---- = -56a- = ---. AF 6 5

 
Odpowiedź: √- tg α = 53-

Wersja PDF