Zadania

Recenzje

Na skróty

Informacje

Zadania

Podobne strony

/Szkoła średnia/Funkcje/Wykresy/Parabola/Różne

Ekstrema funkcji kwadratowej

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych, funkcja kwadratowa stała się tematem przewodnim wszystkich zadań na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie dość prosta – zadania tego typu sprowadzają się do wyznaczenia najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowej na pewnym przedziale. Możliwe sytuacje są następujące.

Jeżeli szukamy wartości największej, ramiona paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale, to wartość największa jest osiągana w wierzchołku, to znaczy

$( −b − Δ ) fmax = f (xw) = yw dla (xw ,yw) = ----,---- . 2a 4a$
Jeżeli szukamy wartości najmniejszej, ramiona paraboli są skierowane do góry i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale, to wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku.
W każdej innej sytuacji, wartość największa/najmniejsza jest osiągana w jednym z końców przedziału – w którym? – trzeba policzyć wartości w obu końcach i je porównać.

Znajdźmy najmniejszą wartość funkcji

2 f(x) = 2x − 4x + 7

na przedziale $⟨− 1,0⟩$ .
Ponieważ $xw = 1 ⁄∈ ⟨− 1,0⟩$ , wartość ta jest przyjmowana w jednym z końców przedziału. Mamy

f(− 1) = 13 > f(0) = 7 .

Zatem najmniejsza wartość to $f(0) = 7$ .

Ważna jest dziedzina! W zadaniach na ekstrema bardzo ważne (i często kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, że gdy wyznaczymy już wzór funkcji $f (x)$ , której mamy znaleźć ekstremum, to musimy ustalić jakie są możliwe wartości argumentu $x$ . Jak to zrobić? – to zależy od rodzaju i treści zadania: jeżeli $x$ jest długością jakiegoś odcinka to $x > 0$ , jeżeli $x = sin α$ to $x ∈ ⟨− 1,1⟩$ , jeżeli $t x = 2$ to $x ∈ (0,+ ∞ )$ itd.

Spróbujmy znaleźć największe możliwe pole prostokąta o obwodzie $4$ .
Jeżeli oznaczymy boki prostokąta przez $a$ i $2 − a$ to szukamy największej możliwej wartości wyrażenia $a(2− a)$ . Na jakim przedziale? – boki prostokąta nie mogą być ujemne, więc $a ∈ (0,2)$ . Łatwo policzyć, że maksymalne pole mamy dla kwadratu o boku 1.

Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po 2 sekundach spadł na ziemię. Wysokość, na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie $t$ sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja $h(t) = − 5t2 + 5t+ 1 0$ . Na jaką największą wysokość wzniósł się ten kamień?
Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji $h (t)$ – na takim, jak zmienia się czas, czyli dla $t ∈ ⟨0,2⟩$ .

1Często pojawiający się motyw to złożenie funkcji kwadratowej z inną funkcją.

Jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia $sin 2x + 4sin x − 7$ ?
Podstawiając $t = sinx$ mamy zwykłą funkcję kwadratową $t2 + 4t − 7$ . Na jakim przedziale szukamy jej wartości najmniejszej? – na takim, jakie są możliwe wartości wyrażenia $t = sin x$ , czyli na przedziale $⟨− 1,1⟩$ . W tym przypadku wartość najmniejszą otrzymujemy w końcu przedziału $t = sin x = − 1$ .

2Przedział, na którym szukamy wartości najmniejszej/największej może być nieskończony (tzw. niewłaściwy), to znaczy jeden lub oba jego końce mogą być równe $± ∞$ . W takiej sytuacji wartość najmniejsza lub największa istnieje tylko dla $a > 0$ i $a < 0$ odpowiednio.

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji

f (x) = x4 − 2x 2 + 4?

Podstawiając $t = x2$ mamy funkcję kwadratową

f(t) = t2 − 2t+ 4 .

Na jakim przedziale szukamy wartości najmniejszej? – na takim, jakie wartości przyjmuje $2 t = x$ , czyli na $⟨0,+ ∞ )$ .

3Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie w połowie między pierwiastkami:

x + x xw = -1----2, 2

a wartość funkcji w wierzchołku to po prostu $f (xw)$ . Własności te bywają bardzo użyteczne w przypadku zadań na ekstrema.

Jaki może być największy iloczyn dwóch liczb dodatnich o sumie $4$ ?
Szukamy największej wartości funkcji

f(a ) = a(4− a)

na przedziale $(0,4)$ (bo $a > 0$ i $b = 4 − a > 0$ ). Wartość ta to dokładnie wartość w wierzchołku $0+24-= 2$ , czyli $2 ⋅2 = 4$ .

4Bardzo użyteczną obserwacją jest fakt, że ekstrema funkcji $f (x)$ są dokładnie w tych samych punktach, co ekstrema funkcji $af(x)$ , gdzie $a > 0$ . Jeżeli dopuścimy też $a < 0$ , to trzeba uważać, bo w tej sytuacji minima zamieniają się na maksima i na odwrót.

Jakie jest maksymalne łączne pole powierzchni dwóch kul, których promienie $r1$ i $r2$ spełniają warunek $r1 + r2 = 2$ ?
Szukamy wartości największej funkcji

2 2 2 2 2 f(r1) = 4πr 1 + 4πr2 = 4π(r1 + (2 − r1) ) = 8π (r1 − 2r 1 + 2),

na przedziale $(0,2)$ . Zgodnie z poczynioną uwagą wystarczy zajmować się wyrażeniem w nawiasie, a na koniec przemnożyć otrzymany wynik przez czynnik $8π$ .

5Jaka jest różnica między minimum/maksimum, a wartością najmniejszą/największą? – typowy dylemat każdego, kto rozpoczyna przygodę z ekstremami. Minima/maksima są lokalne, czyli są własnością funkcji na pewnym małym przedziale – można myśleć, że są to dołki i górki na wykresie. Oczywiście takich dołków/górek może być dużo i nie muszą one mieć nic wspólnego z wartością najmniejszą/największą.

Wystarczy wziąć pierwszy z brzegu wykres kawałka wielomianu stopnia 3, żeby zobaczyć, że funkcja może mieć i maksimum i minimum, ale nie są to wartości największa/najmniejsza.

Dobrze znane wykresy sinusa/cosinusa pokazują, że górek/dołków może być bardzo dużo.

Wprawdzie wyżej jest przykład, że minimum/maksimum nie musi dawać wartości najmniejszej/największej funkcji, ale jest to prawie prawda; dla porządnych funkcji (wszystkich szkolnych), wartość najmniejsza (jeżeli istnieje) jest zawsze jednym z minimów lub wartością funkcji w końcu przedziału. Podobnie jest z wartością największą – tak właśnie szuka się tych wartości przy pomocy pochodnych.

Terminem ekstrema zwykle określa się zarówno minima/maksima jak i wartość największą/najmniejszą.

6W przypadku funkcji kwadratowej używanie pochodnych w zasadzie nic nie daje – po prostu na nowo wyprowadzamy wzór na wierzchołek paraboli.

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu poradnika?
Zauważyłeś błąd lub literówkę?
Masz pomysł jak ulepszyć poradnik?
Napisz nam o tym!

Pułapki i ciekawostki języka niemieckiego	Szybka nauka dla wytrwałych

14,97 zł Poznaj czyhające na Ciebie pułapki i zaskakujące ciekawostki w języku niemieckim!	29,95 zł Poznaj skuteczne techniki pamięciowe, dzięki którym zapamiętasz bez trudu to, czego potrzebujesz do nauki, czy pracy.