Zadania.info: zadanie nr 2130748, Dany jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości x i y. Punkt, 1483

Zadanie nr 2130748

Dany jest prostokąt $ABCD$ , którego boki mają długości $x$ i $y$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia się przekątnych prostokąta.

Wykaż, że pole trójkąta $ASD$ jest cztery razy mniejsze od pola prostokąta $ABCD$ .
Wiedząc dodatkowo, że $2 PΔASD = 15cm$ i $∘ |∡ASD | = 30$ , oblicz pole kwadratu, którego bok ma długość $(x + y)$ .

Rozwiązanie

Trójkąty $ASD$ i $ABD$ mają wspólną podstawę $AD$ , a wysokość opuszczona na tę postawę w trójkącie $ABD$ jest dwa razy dłuższa o wysokości opuszczonej w trójkącie $ASD$ . Zatem $1- PASD = 2 PABD .$
Trójkąt $ABD$ jest jednak połową prostokąta, więc
$PASD = 1PABD = 1PABCD . 2 4$
Zobaczmy co mamy wyliczyć $2 2 2 (x + y) = x + y + 2xy .$
Iloczyn $xy$ jest równy polu prostokąta, więc z poprzedniego podpunktu mamy
$xy = PABCD = 4PASD = 60.$
Z drugiej strony,
$2 2 2 x + y = BD ,$
więc pozostało nam wyliczyć długość przekątnej.

Jeżeli oznaczymy $AS = DS = d$ , to ze wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy
$1- ∘ d2- 15 = PASD = 2d ⋅d ⋅sin 30 = 4 2 60 = d .$
Zamiast stosować wzór na pole trójkąta z sinusem, mogliśmy też zastosować wzór na pole równoległoboku z długościami przekątnych i sinusem.
Mamy więc
$2 2 2 2 2 x + y = BD = (2d) = 4d = 240.$
Stąd
$2 2 2 (x + y ) = x + y + 2xy = 2 40+ 2⋅6 0 = 360.$

Odpowiedź: $360cm 2$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło