Zadania

Recenzje

Na skróty

Informacje

Zadania

Podobne strony

/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Różne

Wzory Viète'a

Jeżeli wymnożymy lewą stronę równości

2 a(x − x 1)(x − x2) = ax + bx + c,

to otrzymamy tak zwane wzory Viète’a dla równania kwadratowego.

x + x = − b- 1 2 a c- x1x2 = a.

Inny prosty sposób wyprowadzenia tych wzorów to użycie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego. Cały urok wzorów Viète’a polega na tym, że są bardzo proste – na przykład nie ma w nich pierwiastków. W wielu sytuacjach same rozwiązania równania mogą być dość paskudne, natomiast wzory Viète’a dają bardzo proste wyrażenia na $x1 + x2$ i $x1x2$ .

Równanie

1 3x2 + 5x − 39 = 0

ma dość skomplikowane rozwiązania, ale nie trzeba ich liczyć, żeby stwierdzić, że ich iloczyn jest równy $x 1x2 = − 3$ , a suma $x1 + x2 = − -5 13$ . Co to daje? – na przykład widać z tego, że pierwiastki są różnych znaków (iloczyn jest ujemny) – jest to bardzo popularne zastosowanie wzorów Viète’a.

Równanie musi mieć pierwiastki! Niezwykle ważne jest pamiętanie o tym, że wzory Viète’a mają sens tylko wtedy, gdy równanie ma pierwiastki, to znaczy gdy $Δ ≥ 0$ .

Możemy sobie napisać wzorki $x 1x 2 = 5$ , $x 1 + x 2 = 3$ dla równania $2 x − 3x + 5 = 0$ , ale nie mają one żadnego sensu, bo to równanie nie ma pierwiastków.

Uwaga ta jest szczególnie ważna w zadaniach z parametrem – zanim zaczniemy pisać wzory Viète’a musimy sprawdzić, kiedy równanie ma rozwiązania.

Dla jakiej wartości $m$ suma pierwiastków równania

x 2 − m + 3 = 0

jest większa od 1? Jeżeli równanie ma pierwiastki, to na mocy wzorów Viète’a, tak będzie, gdy $m > 1$ . Aby sprawdzić kiedy istnieją pierwiastki, musimy dodatkowo rozwiązać nierówność $Δ ≥ 0$ .

Cała potęga wzorów Viète’a ujawnia się w przypadku równań z parametrem. Dla takich równań wzory na pierwiastki równania dają wyjątkowo brzydkie wyrażenia, a wzory Viète’a wręcz przeciwnie. Typowe dwa rodzaje zadań tego typu to ustalenie znaków pierwiastków oraz zadania z różnymi wyrażeniami typu $2 2 x1 + x2$ . Omówimy teraz krótko obie sytuacje. Znaki pierwiastków Jak już wiemy wzory Viète’a dają nam informację o iloczynie $x1x2$ i sumie $x1 + x2$ . Jak na tej podstawie ustalić jakie są znaki $x1$ i $x 2$ ?


Znak iloczynu	Znaki pierwiastków

$x1x2 > 0$	Pierwiastki są tych samych znaków, oba dodatnie gdy $x 1 + x 2 > 0$ i ujemne gdy $x 1 + x 2 < 0$ .

$x x < 0 1 2$	Pierwiastki są różnych znaków.

$x1x2 ≥ 0$	Pierwiastki są tego samego znaku lub zerowe; nieujemne gdy $x1 + x2 ≥ 0$ i niedodatnie gdy $x1 + x2 ≤ 0$ .

$x1x2 ≤ 0$	Jeden pierwiastek jest niedodatni, a drugi nieujemny

Oczywiście nie ma sensu uczyć się powyższych formułek na pamięć – trzeba po prostu pamiętać, że na podstawie znaków $x 1x2$ i $x1 + x2$ można ustalić znak $x1$ i $x 2$ .

Kiedy pierwiastki równania $2 2 x + 3mx + m$ są ujemne? Łatwo sprawdzić, że równanie ma zawsze pierwiastki, możemy więc stosować wzory Viète’a. Jeżeli liczby są ujemne, to ich iloczyn musi być dodatni (czyli $m 2 > 0$ ). Czy wystarczy sprawdzić ten warunek? – nie, bo iloczyn dwóch liczb dodatnich też jest dodatni; musimy jeszcze sprawdzić czy suma jest ujemna (czyli $− 3m < 0$ ) – w ten sposób wyeliminujemy tę drugą możliwość.

Wyrażenia z pierwiastkami Jeden z popularnych motywów w zadaniach na wzory Viète’a jest oparty o fakt, że każde symetryczne wyrażenie od $x 1$ i $x 2$ daje się przedstawić jako wyrażanie wielomianowe, w którym występują tylko $x1x2$ i $x 1 + x 2$ . Trochę to skomplikowanie brzmi, więc napiszmy kilka przykładów

2 2 2 x1 + x2 = (x1 + x2) − 2x1x2 x x2+ x2x = x x (x + x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x31 + x32 = (x1 + x2)(x21 − x1x 2 + x 22) = (x1 + x2)((x1 + x2)2 − 3x1x2).

Na mocy wzorów Viète’a każde wyrażenie tego typu może być łatwo wyrażone od współczynników wielomianu. Tego typu przekształcenia działają zawsze, gdy wyrażenie jest symetryczne, to znaczy gdy nie zmienia się przy zamianie $x 1$ i $x 2$ miejscami – wszystkie wypisane wyżej wyrażenia są symetryczne. Dla odmiany, wyrażenie $x1 − x2$ nie jest symetryczne i nie da się go wyrazić przez $x1x2$ i $x 1 + x 2$ . (Natomiast $2 (x1 − x2)$ już jest symetryczne).

Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania

x2 − 5x + 2 = 0 .

Liczymy

x2+ x2 = (x + x )2 − 2x x = 25 − 4 = 21 . 1 2 1 2 1 2

Układy równań Zacznijmy od przykładu.

Układ równań

{ x1 + x2 = 7 x1x2 = − 6

możemy rozwiązać następująco: na mocy wzorów Viète’a rozwiązania tego układu są pierwiastkami równania $2 x − 7x − 6 = 0$ . Daje nam to dwie pary rozwiązań: $(x1,x2) = (1,− 6)$ i $(x 1,x 2) = (− 6,1)$ .

Powyższy sposób rozwiązania jest bardzo elegancki – gdybyśmy robili to tradycyjnie, czyli na przykład wyliczyli $x 2$ z drugiego równania i podstawili do pierwszego, to musimy dzielić przez $x 1$ , a więc musimy osobno się zastanowić, co się dzieje, gdy $x1 = 0$ ; potem musimy jeszcze przekształcić pierwsze równanie, a na koniec i tak dostaniemy to samo równanie kwadratowe, które przed chwilą rozwiązaliśmy.

Opisana metoda może być zastosowana do dowolnego układu równań z dwoma niewiadomymi $x 1$ i $x 2$ , w którym równania są symetryczne – podstawiamy $s = x1 + x2$ , $t = x 1x 2$ i rozwiązujemy układ w jakikolwiek sposób, a na koniec wyliczamy $x1$ i $x2$ , tak jak to opisaliśmy wyżej. Jeden prosty przykład.

W układzie

{ x 21 + x 22 = 15 x 1x2 = 5

podstawiamy $s = x 1 + x 2$ , $t = x1x2$ i mamy układ równań

{ s2 − 2t = 1 5 t = 5

Łatwo z tego układu wyznaczyć $(s,t) = (5,5)$ lub $(s,t) = (−5 ,5)$ . Zatem $x1$ i $x 2$ są pierwiastkami równania $x 2 + 5x + 5$ lub $x 2 − 5x + 5$ . Daje to nam 4 rozwiązania wyjściowego układu.

1Jeżeli w zadaniu z parametrem przewidujemy, że wyjdzie nam tylko kilka wartości parametru, to zamiast sprawdzać na początku kiedy $Δ ≥ 0$ (lub $Δ > 0$ w zależności od polecenia), możemy na końcu sprawdzić otrzymane rozwiązania. Oczywiście ta metoda nic nie daje, gdy rozwiązaniem jest przedział lub gdy rozwiązań jest bardzo dużo.

Kiedy suma pierwiastków równania

2 x + mx + 5 + m = 0

jest równa 3? Na mocy wzorów Viète’a będzie tak gdy $m = − 3$ . Ponieważ wyszła nam tylko jedna wartość $m$ , to łatwiej jest sprawdzić, że dla $m = − 3$ równanie ma pierwiastki, niż na początku rozwiązywać nierówność kwadratową $Δ ≥ 0$ .

2Wzory Viète’a są niezwykle użyteczne przy sprawdzaniu czy dobrze rozwiązaliśmy równanie kwadratowe. Jeżeli chcemy mieć pewność, że się nie pomyliliśmy, to zamiast śledzić lub powtarzać rachunki, wystarczy otrzymane pierwiastki dodać i pomnożyć – jeżeli wyjdzie $− b a$ i $c a$ to pierwiastki są dobrze obliczone.

3Jeżeli znamy jeden pierwiastek równania kwadratowego, to ze wzoru $-c x1x2 = a$ (lub ze wzoru $x1 + x2 = − ba$ ) natychmiast mamy drugi.

Łatwo zobaczyć, że 1 jest pierwiastkiem równania

x2 + 24x − 25 = 0

(przy odrobinie wprawy takie rzeczy widać od ręki – suma współczynników jest 0, więc 1 jest pierwiastkiem). W takim razie natychmiast wiemy, że -25 jest drugim pierwiastkiem (bo iloczyn rozwiązań jest równy -25).

Ten sam schemat pozwala łatwo zgadnąć rozwiązania prostych równań, w których pierwiastki są całkowite (bardzo częsta sytuacja w przypadku zadań szkolnych).

Jeżeli spodziewamy się, że równanie

2 x − 5x + 6,

ma mieć całkowity pierwiastek, to musi to być dzielnik 6, czyli musi to być $± 1,± 2,± 3$ lub $± 6$ . W dodatku, iloczyn pierwiastków jest równy 6, zatem jeżeli 1 nie jest pierwiastkiem, to 6 też nie może być i tak dalej. W podanym przykładzie pierwiastki to 2 i 3.

4Wzory Viète’a działają w przypadku $Δ = 0$ , o ile traktujemy ten jedyny w tym przypadku pierwiastek $x0$ , jako dwa pierwiastki, które są równe, to znaczy

b x0 + x0 = 2x 0 = − -- a x0 ⋅x0 = x2 = c. 0 a

Powyższa obserwacja bywa użyteczna w przypadku równań z parametrem – dzięki niej nie musimy rozważać sytuacji $Δ = 0$ osobno.

5Aby stosować podane wzory Viète’a musimy wiedzieć, że równanie jest kwadratowe – w przypadku równania z parametrem oznacza to konieczność osobnego rozpatrzenia przypadku, gdy współczynnik przy $2 x$ jest zerowy.

6W przypadku bardziej egzotycznych warunków ze znakami pierwiastków, warto się zastanowić, czy przypadkiem nie jest prościej ustalić, kiedy podany warunek nie jest spełniony.

Kiedy równanie

2 2 x + 3mx + m = 0

ma co najmniej jeden pierwiastek nieujemny? Sprawdzamy najpierw kiedy równanie ma w ogóle pierwiastki – okazuje się, że zawsze ( $Δ ≥ 0$ ). Kiedy jeden jest nieujemny? – trudno to zapisać przy pomocy znaków $x1 + x2$ i $x1x2$ , za to bardzo łatwo jest zapisać warunek przeciwny, czyli że oba są ujemne. Musimy sprawdzić kiedy

0 < x1x 2 = m 2 ⇒ m ⁄= 0 0 > x1 + x2 = − 3m ⇒ m > 0.

Zatem dla $m > 0$ oba pierwiastki są ujemne, czyli dla $m ≤ 0$ przynajmniej jeden jest nieujemny.

7Wprawdzie taka wiedza wykracza poza program szkolny, ale czasem warto sobie zdawać sprawę z faktu, że istnieją wzory Viète’a dla wielomianów dowolnego stopnia. Ich wyprowadzenie jest identyczne jak w przypadku równania kwadratowego.

Jeżeli wymnożymy lewą stronę równości

a(x − x 1)(x− x2)(x− x3) = ax 3 + bx 2 + cx + d

i porównamy współczynniki przy odpowiednich potęgach $x$ , to otrzymamy wzory Viète’a dla wielomianu stopnia 3

b- x 1 + x 2 + x 3 = − a c x 1x2 + x1x3 + x2x3 = -- a x x x = − d-. 1 2 3 a

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu poradnika?
Zauważyłeś błąd lub literówkę?
Masz pomysł jak ulepszyć poradnik?
Napisz nam o tym!

Jak zdać egzamin?	Naturalne planowanie rodziny

19,97 zł Poznaj metody i sztuczki, aby bezstresowo i zawsze pozytywnie zdać każdy egzamin!	14,97 zł Seks bez barier. Miłość bez wątpliwości. Poznaj fakty i mity o tej naturalnej i sprawdzonej metodzie.