/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Objętość

Zadanie nr 2558194

Przekrój stożka wyznaczony przez wierzchołek i cięciwę podstawy jest trójkątem równobocznym, o polu równym √ -- 36 3 . Płaszczyzna r , do której należy ten przekrój, tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt o mierze równej 60 ∘ . Oblicz objętość stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy przez H i r wysokość i promień podstawy stożka oraz przez a długość boku trójkąta równobocznego w przekroju.

PIC

Z podanego pola przekroju mamy

2√ -- a---3-= 36√ 3- ⇒ a = 12. 4

Plan jest następujący: z trójkąta ABC wyliczymy długość wysokości, a z trójkąta prostokątnego ADB długość promienia podstawy.

Liczymy

AC-- ∘ CB = sin 60 √ -- -√H---= --3- 6 3 2 H = 9.

Podobnie

AB ----= cos 60∘ CB -A√B--= 1- 6 3 2 √ -- AB = 3 3.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABD .

∘ ---2------2- √ -------- √ --- √ -- r = AD = AB + BD = 2 7+ 36 = 63 = 3 7.

Stąd szukana objętość

1 1 V = --πr2H = --π ⋅63 ⋅9 = 18 9π. 3 3

 
Odpowiedź: 189 π

Wersja PDF