Zadania

Recenzje

Na skróty

Informacje

Zadania

Podobne strony

/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Różne

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie postaci

2 ax + bx + c = 0,

gdzie $a ,b,c$ pewne liczby i $a ⁄= 0$ . Jeżeli $a = 0$ to w równaniu nie ma $x2$ i równanie jest liniowe. Przykłady Równanie kwadratowe może mieć 0,1 lub 2 rozwiązania.


Ilość rozwiązań	Przykład

0	$x2 + 1 = 0$ , lewa strona jest zawsze dodatnia.

1	$x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2 = 0$ , rozwiązanie $x = 1$ .

2	$2 x − 2 = 0$ , rozwiązania $√ -- x1 = 2$ i $√ -- x2 = − 2$ .

W przypadku prostych równań (jak te powyżej) rozwiązania możemy znaleźć wprost, na przykład

2 2 2x − 8 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ x = − 2∨ x = 2

Delta Jeżeli równanie jest bardziej skomplikowane to o ilości rozwiązań mówi nam $2 Δ = b − 4ac$ .


Znak $Δ$ -y	Rozwiązania równania

$Δ < 0$	Brak rozwiązań.

$Δ = 0$	Jedno rozwiązanie: $b x = − 2a$ .

$Δ > 0$	Dwa rozwiązania: $√ -- x = −b−--Δ- 1 2a$ i $√-- x = −b+--Δ- 2 2a$ .

Spróbujmy ustalić liczbę rozwiązań równania

x2 − 2x + m = 0

w zależności od parametru $m$ . Ponieważ $Δ = 4 − 4m$ równanie ma dwa rozwiązania dla $m < 1$ , jedno rozwiązanie dla $m = 1$ i nie ma rozwiązań dla $m > 1$ .

Stosując wzory z $Δ$ -ą należy pamiętać o ważnym założeniu $a ⁄= 0$ . O ile w przypadku zwykłych równań nie problemu, bo widać czy jest $x2$ czy go nie ma, to w przypadku równań z parametrem, musimy zawsze osobno sprawdzić co się dzieje, gdy współczynnik przy $x2$ jest zerowy – inaczej powyższe wzory nie mają sensu (wszędzie w mianowniku jest $a$ ).

Równanie

2 ax + x = 0

ma jedno rozwiązanie dla $a = 0$ , pomimo że dla $a = 0$ mamy $Δ = 1 > 0$ .

Sprawdźmy kiedy równanie

2 mx + x + m = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Najpierw sprawdzamy przypadek $m = 0$ – otrzymane równanie liniowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Pozostaje sprawdzić, kiedy $Δ = 0$ – okazuje się, że dla $m = ± 1 2$ .

Równanie dwukwadratowe Równanie dwukwadratowe to równanie wielomianowe stopnia 4 postaci

4 2 ax + bx + c = 0.

Dzięki temu, że w równaniu nie występuje $x$ ani $3 x$ , równanie możemy łatwo sprowadzić do równania kwadratowego – wykonujemy podstawienie $t = x 2$ . Po tym podstawieniu otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe

at2 + bt + c = 0 ,

które rozwiązujemy używając $Δ$ -y. Na koniec, gdy mamy wyliczone wartości $t$ , musimy wyliczyć $x$ z równości $2 x = t$ .

Spróbujmy rozwiązać równanie

4 2 x + 3x + 2 = 0.

Po podstawieniu $2 t = x$ mamy równanie

2 t − 3t+ 2 = 0 Δ = 9− 8 = 1 ⇒ t1 = 1, t2 = 2.

Daje nam to cztery pierwiastki wyjściowego równania $x 1 = − 1$ , $x2 = 1$ , $√ -- x3 = − 2$ i $√ -- x4 = 2$ .

1W przypadku równań z dużymi współczynnikami, które mają parzysty współczynnik przy $x$ , zawsze warto podzielić równanie stronami przez 2 lub nawet przez 4.

95x2 − 34x + 3 = 0 ⇒ 95x 2− 17x + 3-= 0 ⇒ Δ = 172 − 3⋅95 = 4. 2 2

Na pierwszy rzut oka przekształcenie to wygląda groźnie, bo pojawiły się ułamki. Nie ma z tym jednak żadnego problemu, bo we wzorze na $Δ$ –ę jest $4ac$ i ułamki znikną. We wzorach na pierwiastki też jest $2a$ , więc nie ma problemu.

Przy odrobinie wprawy jest to niezwykle użyteczne uproszczenie.

2Podobnie jak przypadku równań wielomianowych, powinniśmy się nauczyć od ręki zauważać 1 lub -1 jako pierwiastek.

Jedynka jest pierwiastkiem, gdy suma współczynników jest zero, np. w równaniu

2 x − 25x + 24 = 0.

Dla -1 jest podobnie, tylko współczynnikowi przy $x$ trzeba zmienić znak, np.

x2 + 13x + 12 = 0.

3Wzór na pierwiastek w przypadku $Δ = 0$ można łatwo zapamiętać na kilka sposobów: jest to dokładnie pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem równania, czyli $-b xw = − 2a$ . Wystarczy więc pamiętać współrzędne wierzchołka. Jeszcze prostszy sposób to podstawienie $Δ = 0$ do wzorów z przypadku $Δ > 0$ – wystarczy pamiętać te wzory.

4W przypadku równania dwukwadratowego i podstawienia $t = x2$ ważne jest, aby pamiętać, że musi być $t ≥ 0$ . Jak zwykle, nabiera to dużego znaczenia przy równaniach z parametrem.

Sprawdźmy kiedy równanie

x 4 + mx 2 − 1 = 0

ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Po podstawieniu $t = x2$ mamy równanie kwadratowe

2 t + mt − 1 = 0,

które musi mieć nieujemne rozwiązanie. Tak się składa, że to równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania ( $2 Δ = m + 4 > 0$ ) i zawsze jedno z nich jest dodatnie (ze wzorów Viète’a: iloczyn pierwiastków jest ujemny). Ogólnie sytuacja potraﬁ być jednak skomplikowana.

5Równanie dwukwadratowe to nie jedyne równanie, które łatwo sprowadza się do równania kwadratowego. Podobna sytuacja ma miejsce zawsze, gdy umiemy równanie sprowadzić do postaci, w której jest pewne wyrażenie z niewiadomą i kwadrat tego wyrażania.

Rozwiążmy równanie

4x + 3⋅ 2x − 4 = 0 x 2 x (2 ) + 3 ⋅2 − 4 = 0 t = 2x 2 t − 3t − 4 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 ⇒ t1 = − 1 , t2 = 4.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

x 2 = 4 ⇒ x = 2.

Rozwiążmy równanie $cos2 x+ sin x = 1$ w przedziale $⟨0 ,2π⟩$

1 − sin2 x+ sin x = 1 t = sin x 2 1 − t + t = 1 0 = t2 − t = t(t− 1) t1 = 0 , t2 = 1 sin x = 0 ∨ sinx = 1 { π } x ∈ 0, -,π ,2π . 2

6Jeżeli równanie kwadratowe $2 ax + bx + c = 0$ ma dwa pierwiastki $x1$ i $x2$ , to lewą stronę możemy zapisać w postaci

a(x − x1)(x − x2) = 0 .

W przypadku samego rozwiązywania równania niewiele mądrego z tego wynika, ale w przypadku innych zadań (szczególnie z funkcją kwadratową) jest to bardzo ważne. W zasadzie o wzorach na pierwiastki powinno się myśleć nie jak o wzorach na rozwiązania równania kwadratowego, ale jak o wzorach pozwalających rozłożyć wyrażenie $2 ax + bx + c$ na iloczyn $a(x − x1)(x − x 2)$ (nawet jak nie ma równania). Im szybciej nauczymy się tak myśleć, tym łatwiej będziemy rozwiązywać różne zadania z funkcją kwadratową.

Spróbujmy uzasadnić, że dla dowolnej liczby całkowitej $n$ liczba

n3 + 3n 2 + 2n

jest podzielna przez 3. Przekształcamy podane wyrażenie

2 n(n + 3n + 2) = (∗) Δ = 9− 8 = 1 ⇒ n 1 = − 1, n2 = − 2 (∗) = n (n+ 1)(n + 2).

Otrzymaliśmy iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych – na pewno jedna z nich dzieli się przez 3.

Jeżeli $Δ = 0$ to rozkład jest ten sam, ale należy myśleć, że są dwa równe pierwiastki

ax 2 + bx+ c = a(x − x0)(x − x 0) = a(x− x0)2.

Spróbujmy uprościć wzór funkcji

9x 2 + 6x − 3 f (x) = ---2---------. 9x − 6x + 1

Licząc pierwiastki licznika i mianownika (z $Δ$ -y) mamy rozkład

1 f (x) = 9(x-−--3)(x+--1) = -x+--1 = 3x-+--3. 9(x − 13)2 x − 13 3x − 1

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu poradnika?
Zauważyłeś błąd lub literówkę?
Masz pomysł jak ulepszyć poradnik?
Napisz nam o tym!

Naturalne planowanie rodziny	Angielskie czasy

14,97 zł Seks bez barier. Miłość bez wątpliwości. Poznaj fakty i mity o tej naturalnej i sprawdzonej metodzie.	19,97 zł Poznaj 7 czasów, które wystarczą Ci do sprawnej komunikacji.