Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Wykresy funkcji

O funkcji liczbowej myślimy jak o maszynce, która po otrzymaniu jednej liczby (argumentu) zwraca nam inną liczbę (wartość). Jednym ze sposobów reprezentowania funkcji jest wykres. Wykres tworzymy zaznaczając w układzie współrzędnych wszystkie punkty postaci (x,f(x )) , gdzie parametr x przebiega całą dziedzinę funkcji. Na ogół dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym (np. całym zbiorem R liczb rzeczywistych), więc gdy zaznaczymy wszystkie punkty wykresu, otrzymamy pewną krzywą.

Wykres funkcji y = 2x składa się ze wszystkich punktów postaci (x ,2x) , gdzie x ∈ R , czyli z punktów, których druga współrzędna jest dwa razy większa od pierwszej. Jak dobrze wiemy, wszystkie te punkty leżą na jednej prostej.
PIC

Jeżeli chcemy zaznaczyć, że pewien punkt nie należy do wykresu funkcji to zaznaczamy to rysując w jego miejscu małe puste kółeczko. Pełne kółko (kropka) oznacza punkt, który do wykresu należy.

Funkcja y = 2x2 x jest oczywiście równa funkcji y = 2x . Jednak ze względu na x w mianowniku, do jej dziedziny nie należy 0. Na wykresie zaznaczamy to usuwając punkt o pierwszej współrzędnej równej 0.
PIC

Na obrazku naszkicowaliśmy wykres funkcji signum (znak)

 ( |{ − 1 dla x < 0 y = sgn (x) = 0 dla x = 0 |( 1 dla x > 0.

PIC

Odczytywanie własności funkcji z wykresu Mając dany wykres funkcji, jesteśmy w stanie odczytać niektóre jej własności (pomimo, że nie mamy wzoru funkcji).
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb na osi Ox , nad którymi jest jakiś punkt wykresu. Wygodny sposób ustalenia dziedziny to wyobrażenie sobie, że rzutujemy cały wykres funkcji na oś Ox (czyli przesuwamy każdy punkt wykresu pionowo, aż znajdzie się na osi Ox ). Zbiór, który otrzymamy na osi Ox to dokładnie dziedzina funkcji.

Dziedziną funkcji na lewym wykresie jest zbiór ⟨−7 ,−4 )∪ (− 4,3⟩ ∪ (5,7) (zaznaczyliśmy ten zbiór na niebiesko).
PIC Dziedziną funkcji z prawego wykresu jest zbiór (− ∞ ,−1 )∪ (0,+ ∞ ) .

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich liczb na osi Oy , na których poziomie jest jakiś punkt wykresu. Wygodny sposób ustalenia dziedziny to wyobrażenie sobie, że rzutujemy cały wykres funkcji na oś Oy (czyli przesuwamy każdy punkt wykresu poziomo, aż znajdzie się na osi Oy ). Zbiór, który otrzymamy na osi Oy to dokładnie zbiór wartości funkcji.

Czasami dodatkowo musimy podać najmniejszą bądź największą wartość funkcji: są to po prostu lewy i prawy koniec zbioru wartości (jeżeli istnieją!).

Zbiorem wartości funkcji na lewym wykresie jest zbiór ⟨− 7,− 2⟩ ∪ ⟨1,7) (zaznaczyliśmy ten zbiór na niebiesko). Wartością najmniejszą tej funkcji jest f(3 ) = − 7 , a wartość największa nie istnieje (bo funkcja przyjmuje wartości dowolnie bliskie 7, ale nie przyjmuje wartości 7).
PIC Zbiorem wartości funkcji z prawego wykresu jest zbiór (− ∞ ,− 1⟩∪ {1 }∪ (2 ,+ ∞ ) .

Rozwiązania równania f(x) = m znajdujemy szukając punktów wspólnych danego wykresu oraz poziomej prostej y = m . Miejsca zerowe otrzymujemy dla m = 0 , czyli szukając punktów wspólnych danego wykresu i osi Ox .

Z podanego wykresu funkcji y = f (x) odczytajmy rozwiązania równania f (x)+ 1 = 0 , oraz rozwiązanie nierówności f (x) > 0 .
PIC Równanie f(x) + 1 = 0 jest równoważne równaniu f (x) = − 1 , czyli szukamy punktów wspólnych danego wykresu i prostej y = − 1 . Rozwiązaniami są x ∈ {− 2,2 ,6 } .
Podobnie odczytujemy rozwiązanie nierówności f(x ) > 0 : patrzymy dla jakich argumentów wykres funkcji jest powyżej osi Ox . Odpowiedzią jest zbiór ⟨− 7,− 3)∪ (3,5⟩ .

Przedziały monotoniczności odczytujemy patrząc, na jakich przedziałach funkcja rośnie, a na jakich maleje. Przypomnijmy, że funkcja rośnie, gdy jej wykres „jedzie do góry” jeżeli przesuwamy się po nim w kierunku strzałki na osi Ox (czyli w prawo). Podobnie, funkcja maleje, gdy jej wykres „jedzie w dół”.

Funkcja przedstawiona na lewym wykresie rośnie na przedziałach ⟨− 7,− 6⟩ oraz ⟨0,4⟩ . Ta sama funkcja maleje na przedziałach ⟨− 6,0⟩ i ⟨4,7⟩ .
PIC Funkcja przedstawiona na prawym wykresie rośnie na przedziałach ⟨− 7,− 4) , ⟨−4 ,−1 ⟩ oraz maleje na przedziale (− 1,7⟩ .
Zauważmy, że ta funkcja nie jest rosnąca na przedziale ⟨− 7,− 1⟩ , bo dla x = − 4 funkcja „przeskakuje w dół”.

Wersja PDF
Login Hasło
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.