/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 3

Zadanie nr 3101816

Rozwiąż równanie: x 3x- sin x + sin2x + sin 3x = 4cos xco s2 cos 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać (żeby lewą stronę zamienić na iloczyn) ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα α-+-β- α-−-β- sin α + sin β = 2 sin 2 cos 2 α + β α − β cosα + co sβ = 2cos ------cos ------ 2 2 cos(−x ) = co sx

Przekształcamy lewą stronę

(sin x + sin2x )+ sin 3x = 3x −x 3x 3x = 2sin ---cos ----+ 2 sin ---cos ---= 2 ( 2 2) 2 = 2sin 3x- cos x-+ cos 3x- = 2 2 2 3x ( −x ) = 2sin --- 2co sx cos---- = 2 2 3x- x- 4sin 2 cosx cos 2.

Podane równanie przyjmuje zatem postać

3x- x- x- 3x- 4sin 2 cosx cos 2 = 4 cos xcos 2 cos 2 x ( 3x 3x ) cos xcos -- sin ---− cos--- = 0. 2 2 2

Mamy stąd π- x = 2 + kπ lub x π- 2 = 2 + kπ lub 3x π- 2 = 4 + k π .  
Odpowiedź: π- x = 2 + kπ lub x = π + 2k π lub x = π6-+ k2π3-

Wersja PDF