Zadania.info: zadanie nr 3142193, Dane są dwa wierzchołki A(9,-1) i B(-7,3) prostokąta ABCD oraz, 494

Zadanie nr 3142193

Dane są dwa wierzchołki $A (9,− 1)$ i $B (−7 ,3)$ prostokąta $ABCD$ oraz punkt $E (4,− 4)$ należący do boku CD.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Prosta $CD$ jest równoległa do $AB$ i przechodzi przez $E$ . Zacznijmy od równania prostej $AB$ . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A = (xA ,yA)$ i $B = (xB,yB )$ : $(y − yA )(xB − xA )− (yB − yA)(x − xA ) = 0.$
W naszej sytuacji mamy
$AB : (y + 1)(− 7 − 9)− (3+ 1)(x − 9) − 16(y + 1) − 4(x − 9) = 0 4(y + 1) + (x − 9) = 0 4y + 4 + x − 9 = 0 1 5 4y = −x + 5 ⇒ y = − --x + -. 4 4$
Zatem prosta $CD$ jest postaci $y = − 14 x+ b$ . Współczynnik $b$ wyznaczmy z warunku, że przechodzi ona przez punkt $E$ .
$1 − 4 = − --⋅4+ b ⇒ b = − 3. 4$
Zatem
$1 CD : y = − --x− 3. 4$

Odpowiedź: $y = − 1x − 3 4$
Napiszemy równanie prostej $BC$ – jest to prosta prostopadła do $AB$ i przechodząca przez $B$ ; punkt $C$ jest punktem wspólnym tych prostych.
Prosta $BC$ jest prostopadła do prostej $AB$ , zatem jest postaci $y = 4x + b$ . Współczynnik $b$ wyznaczmy z warunku, że przechodzi ona przez punkt $B$ .
$3 = 4 ⋅(− 7)+ b ⇒ b = 31 .$
Zatem
$BC : y = 4x+ 31.$
Punkt $C$ jest punktem wspólnym prostych $CD$ i $BC$ .
${ 1 y = − 4x− 3 y = 4x + 31$
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić $y$ ) mamy
$0 = 4x+ 1x + 34 4 17- − 34 = 4 x ⇒ x = − 8.$
Z pierwszego równania mamy więc
$y = − 1-x− 3 = − 1. 4$

Odpowiedź: $C = (− 8,− 1)$
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AC$ . $( ) ( ) S = 9-−-8-, −-1−-1 = 1,− 1 . 2 2 2$

Odpowiedź: $( ) S = 12,− 1$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło