Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3306780

Pan Kowalski zaciągnął w banku kredyt w wysokości 40000 zł. Oprocentowanie kredytu wynosi 12% w skali roku, a odsetki są dopisywane kwartalnie. Kredyt ma zostać spłacony w czterech równych ratach kwartalnych (spłacanych na koniec każdego kwartału). Wyznacz wysokość raty.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukaną wysokość każdej z rat przez x . W takim razie po pierwszym kwartale zadłużenie Pana Kowalskiego wynosi

 ( ) 40000 ⋅ 1+ 0,12- = 4 0000 ⋅1,03 4

i x złotych z tej kwoty zostaje spłacone.

Po drugim kwartale zadłużenie wynosi

(4000 0⋅1,0 3− x )⋅1,0 3 = 40000 ⋅1,03 2 − 1,0 3x

i znowu x z tej kwoty zostanie spłacone.

Po trzecim kwartale zadłużenie wynosi

 2 3 2 (40000 ⋅1,03 − 1,03x − x )⋅1,0 3 = 40000 ⋅1,03 − 1,0 3 x− 1,03x

i znowu x z tej kwoty zostanie spłacone.

Wreszcie na koniec roku pozostanie zadłużenie

 3 2 4 3 2 (40000 ⋅1,03 − 1,03 x − 1,03x − x) ⋅1,03 = 40 000⋅1,0 3 − 1,03 x− 1,0 3 x− 1 ,

i musi być równe wysokości ostatniej raty. Daje to nam równanie

40000 ⋅1,03 4 − 1,03 3x− 1,032x − 1,03x = x 4 3 2 40000 ⋅1,03 = x(1,03 + 1,03 + 1,03 + 1).

Możemy obie strony policzyć na kalkulatorze, ale możemy też zauważyć, że w nawiasie mamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, czyli

 4 1,034-−-1- 400 00⋅1 ,03 = x ⋅ 1,03− 1 4 4-0000-⋅1,03-⋅-0,03 = x ⇒ x ≈ 10 761,08. 1,034 − 1

Sposób II

Jak poprzednio, niech x będzie szukaną wysokością raty. Tym razem będziemy jednak liczyć jaką część wyjściowej kwoty kredytu spłacamy w kolejnych ratach.

W pierwszej racie spłacamy x złotych, ale ponieważ zostały dopisane odsetki w wysokości 12%- 4 = 3% więc to x złotych spłaca tylko

-x--- 1,03

oryginalnego zadłużenia (jak pomnożymy tę liczbę przez przyrost odsetek 1,03 to otrzymamy ratę w wysokości x ).

Podobnie w drugiej racie, spłacamy tylko

 x -----2 1,0 3

oryginalnego zadłużenia (bo kwota, którą spłacamy po kapitalizacji, czyli pomnożeniu przez  2 (1,03) , ma dać x ). W trzeciej i czwartej racie spłacamy odpowiednio 1,x033 i 1x,034 pierwotnego zadłużenia.

W sumie mamy do spłacenia 40000 zł, co daje nam równanie

--x--+ --x---+ --x---+ --x---= 40000. 1,03 1,032 1 ,0 33 1,034

Jak w poprzednim sposobie zauważamy, że z lewej strony mamy sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, czyli

 -1-- --x--⋅ 1−--1,034-= 400 00 1,03 1− -1-- 41,03 x 1,03-−41- -----⋅ -10,0,303---= 4 0000 1,03 1,03- 4 x ⋅-1,03--−-1--= 40000 0,03 ⋅1,034 40000 ⋅1,034 ⋅0,03 x = ---------4---------≈ 10761,08 . 1,03 − 1

 
Odpowiedź: 10761,08 zł

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.