Zadania.info: zadanie nr 3666241, Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w, 1409

Zadania

Trapez

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Prostokątny opisany na okręgu

Zadanie nr 3666241

Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest $SB$ , są przystające. Zatem prosta $SB$ jest dwusieczną kąta $ABC$ . Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt $ABC$ przez $α$ . Podobnie niech $∡SCB = ∡SCD = β$ . Z równoległości prostych $AB$ i $CD$ mamy

∘ 2α + 2 β = 180 α + β = 90∘.

Oznacza to, że trójkąt $SBC$ jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ------- ∘ ------- -- BC = 4 2 + 82 = 4 1 + 22 = 4√ 5 .

Możemy teraz łatwo wyliczyć promień okręgu wpisanego – jest to wysokość w trójkącie $SBC$ opuszczona na bok $BC$ .

2P = BC ⋅r = 4 ⋅8 SBC BC ⋅r = 4 ⋅8 √ -- 4 5 ⋅r = 4 ⋅√8-- 8 8 5 r = √--- = -----. 5 5

Innym sposobem wyliczenia promienia jest fakt, że $r -4- sin α = 8 = BC$ .

Mamy zatem wysokość trapezu

√ -- 16--5- h = 2r = 5 .

Długości podstaw możemy teraz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednich trójkątach. My jednak zrobimy to prościej. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, to

AB + CD = AD + BC AB + CD = 2r + BC 16√ 5- √ -- 36√ 5- AB + CD = ------+ 4 5 = ------ 5 5

Mamy stąd

AB + CD 18√ 5- 16√ 5- 288 PABCD = ---------- ⋅h = ------⋅------= ----. 2 5 5 5

Odpowiedź: $2858$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło