/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez/Długości odcinków

Zadanie nr 3689156

Udowodnij, że w trapezie, który ma dwa kąty ostre przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków równoległych i kwadratów pozostałych boków.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Z trójkątów prostokątnych AF C i DEB mamy

2 2 2 2 2 AC = AF + FC = (a+ x) + h BD 2 = BE 2 + ED 2 = (a + y)2 + h2.

Dodając te równości stronami i korzystając z równości 2 2 2 AD = x + h i 2 2 2 BC = y + h mamy

2 2 2 2 2 2 2 2 AC + BD = x + h + y + h + a + a + 2ax + 2ay = = AD 2 + BC 2 + 2a(a + x + y ) = AD 2 + BC 2 + 2AB ⋅CD .
Wersja PDF