Zadania.info: zadanie nr 3886482, Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu, 74

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 7734 zadania, 371 zestawów, 30 poradników

cornersUpL

cornersUpR

Strona główna

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Zadania

Dzielenie z resztą

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU

cornersM

random

Podobne strony

cornersR

/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 1

Zadanie nr 3886482

Dla jakich wartości parametru $k$ reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = x5 + (k3 + 3k2)x3 − 2(k2 + 2k)x − k$ przez dwumian $x− 1$ jest nie większa od (–2)?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian $x − 1$ to po prostu wartość $W (1 )$ . Rzeczywiście, jeżeli

W (x) = Q (x)(x − 1 )+ r

to wstawiając w tej równości $x = 1$ mamy $r = W (1)$ . Musimy więc rozwiązać nierówność.

W (1) ≤ − 2 3 2 2 1 + k + 3k − 2k − 4k − k ≤ − 2 k 3 + k2 − 5k + 3 ≤ 0 .

Szukamy pierwiastka lewej strony. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego łatwo znaleźć pierwiastek $k = 1$ . Dzielimy lewą stronę przez $k − 1$ . My zrobimy to grupując wyrazy.

k3+ k2− 5k + 3 = (k3− k2) + (2k2− 2k)− (3k− 3) = (k− 1)(k2+ 2k − 3 ).

Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.

Δ = 4+ 1 2 = 16 k = − 3 ∨ k = 1 .

Mamy zatem nierówność

(k− 1)2(k+ 3 ) ≤ 0 k ∈ (− ∞ − 3 ⟩∪ {1} .

Odpowiedź: $k ∈ (− ∞ − 3⟩ ∪ {1}$

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!