/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 4151424

Rozwiąż równanie √ -- sin3x + cos3x = 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na sinus sumy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

W tym celu przekształćmy podane równanie

√ -- √ -- sin 3x + co s3x = 2 / ⋅--2- √ -- √ -- 2 2 2 ---sin 3x + ----cos 3x = 1 2 2 cos π-sin3x + sin π-co s3x = 1 (4 ) 4 sin 3x+ π- = 1 4 π- π- 3x + 4 = 2 + 2kπ π π 2π 3x = -- + 2kπ ⇒ x = ---+ k⋅ ---. 4 12 3

Sposób II

Skorzystamy ze wzorów

( ) sin π-− α = co sα 2 α + β α − β sinα + sin β = 2 sin --2---co s--2---.

Przekształcamy równanie

( ) √ -- sin 3x+ sin π-− 3x = 2 2 3x + π-− 3x 3x − π-+ 3x √ -- 2sin ------2------cos------2------= 2 π 2( π ) √ -2 2sin --cos 3x − -- = 2 (4 ) 4 cos 3x − π- = 1 4 π- 3x − 4 = 0 + 2kπ π π 2kπ 3x = --+ 2k π ⇒ x = ---+ ----. 4 12 3

 
Odpowiedź: π- 2π-- x = 12 + k⋅ 3 , k ∈ Z

Wersja PDF