Zadania.info: zadanie nr 4679316, W trójkącie ostrokątnym ABC dane są długości boków: |AC|=6, |BC|=10., 668

Zadanie nr 4679316

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ dane są długości boków: $|AC | = 6$ , $|BC | = 10$ . Pole trójkąta jest równe $√ -- 15 3$ . Oblicz

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Mając dane dwa boki i pole możemy wyliczyć sinus kąta pomiędzy tymi bokami. To pozwoli wyliczyć $AB$ z twierdzenia cosinusów. Liczymy $1 √ -- --⋅6⋅ 10sin ∡C = 15 3 2 √ -- --3- sin∡C = 2$
Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, oznacza to, że $∘ ∡C = 60$ . Stosują twierdzenie cosinusów mamy
$AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅BC cos60 ∘ AB 2 = 36 + 100 − 2 ⋅6 ⋅10 ⋅ 1- 2 AB 2 = 76 √ --- AB = 2 19 .$

Odpowiedź: $√ --- AB = 2 19$
Liczymy jak w poprzednim podpunkcie $1 √ --- √ -- -⋅6 ⋅2 1 9⋅sin ∡A = 1 5 3 2 √ -- √ --- -5--3- 5--57- sin ∡A = 2√ 19-= 38 .$
Inny sposób wyliczenia $sin ∡A$ , to skorzystanie z twierdzenia sinusów.
Odpowiedź: $√-- 5-57- 38$
Korzystamy z twierdzenia sinusów $AB 2R = ------- si√n-∡C 2--1-9 2R = √3- √ -2- 2 19 R = -√---- 3 2 76- πR = 3 π .$

Odpowiedź: $76 3-π$
Korzystamy ze wzoru na pole $1- P = 2 (a+ b + c)r.$
Mamy
$√ -- √ --- 15 3 = 1(6 + 10 + 2 19)r √ -- 2 √ --- 15 3 = (8 + 19 )r √ -- -1-5--3-- r = √ ---. 8 + 19$

Odpowiedź: $√ - -15√-3- 8+ 19$