Zadania.info: zadanie nr 4684596, Ze zbioru {-2n,-(2n-1),...,-1,0,1,...,2n-1,2n} losujemy ze zwracaniem, 620

Zadania

Zbiory liczb

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Nierówności

Zadanie nr 4684596

Ze zbioru ${− 2n,− (2n − 1 ),...,− 1 ,0 ,1,...,2n − 1,2n}$ losujemy ze zwracaniem dwie liczby: $a$ i $b$ . Rozważmy zdarzenia
$A$ : $a + b$ jest liczbą parzystą;
$B$ : $|a| + |b| ≤ 2n$ .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $P(A ∩ B)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ losujemy ze zwracaniem wygodnie będzie nam myśleć o parach $(a,b)$ . W podanym zbiorze jest $4n + 1$ liczb, więc

|Ω | = (4n+ 1)⋅ (4n + 1) = (4n + 1)2.

Pozostało teraz policzyć ile jest par $(a,b)$ spełniających podane dwa warunki.

Sposób I

Policzmy ile jest takich par, patrząc na kolejne możliwe wartości $a$ .
Jeżeli $a = ±2n$ to musi być $b = 0$ , czyli mamy dwie pary.
Jeżeli $a = ±(2n − 1)$ to musi być $b = ± 1$ (bo suma ma być parzysta i suma wartości bezwzględnych ma być nie większa od $2n$ ), czyli mamy cztery takie pary (mamy dwie możliwości wyboru znaku na każdej współrzędnej).
Jeżeli $a = ±(2n − 2)$ to musi być $b = 0$ lub $b = ± 2$ . Daje to nam 6 par: dwie z $b = 0$ , i 4 z $b = ± 2$ .
Jeżeli $a = ± (2n − 3)$ to musi być $b = ±1$ lub $b = ±3$ . Daje nam to $2 ⋅2 ⋅2 = 8$ możliwości (wybieramy znak przy pierwszej liczbie, znak przy drugiej liczbie i jeszcze drugą liczbę).

Powinno być już widać co jest grane, ale sprawdźmy ogólnie dla $a = ±(2n − k)$ .

Jeżeli $k$ jest parzyste i $k < 2n$ , to $b$ może być jedną z liczb $0 ,±2 ,...,±k$ . Daje nam to

2 ⋅(k + 1) = 2k + 2

(pierwsza dwójka to wybór znaku przy $a$ , $k + 1$ to liczba możliwości wyboru $b$ ).

Jeżeli natomiast $k$ jest nieparzyste to $b$ jest jedną z liczb $± 1,± 3,...,±k$ . Mamy

2 ⋅(k + 1) = 2k + 2

takich par (bo liczb $1,3,...,k$ jest $k+21-$ ).

Popatrzmy jeszcze osobno co się dzieje dla $a = 0$ . Wtedy $b$ jest dowolną liczbą parzystą z danego zbioru, więc jest $2n + 1$ takich par.

W sumie mamy więc

2 + 4+ 6+ ⋅⋅⋅+ (2 (2n− 1)+ 2)+ 2n + 1 = 1+--2n- = 2(1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ 2n) + 2n + 1 = 2⋅ 2 ⋅(2n) + 2n + 1 = = (2n + 1)(2n )+ 2n + 1 = (2n + 1)(2n + 1) = (2n + 1 )2.

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

( ) (2n-+-1)2- 2n-+-1- 2 P = (4n + 1)2 = 4n + 1 .

Sposób II

Największy problem w powyższym rachunku to zabawa z możliwymi znakami wylosowanych liczb. Można jednak łatwo się tego problemu pozbyć, jeżeli będziemy liczyć trochę sprytniej. Pomysł jest taki, żeby policzyć pary z dodatnimi liczbami, a potem uwzględnić możliwe wybory znaków. Aby się nie pogubić rozważmy niektóre sytuacje osobno.

Jest jedna para z dwoma zerami: $(0,0)$ .

Jeżeli dokładnie jedna z liczb $a$ lub $b$ jest zero, to liczba niezerowa musi być parzysta i mamy $2n$ możliwości (nie może być 0!). Musimy jednak tę liczbę pomnożyć przez 2, co odpowiada wyborowi, która współrzędna ma być równa 0. W sumie jest więc $4n$ liczb z jednym zerem.

Całą resztę jest już dość łatwo policzyć. Będziemy liczyć pary $(a,b)$ gdzie $a,b > 0$ , a potem wynik przemnożymy przez 4 (co odpowiada możliwym zmianom znaków). Liczbę $a$ możemy wybrać na $2n$ sposobów (od 1 do $2n$ ). Policzmy ile można do niej dobrać liczb $b$ .