Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4825283

Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE | = 2|DF | . Oblicz wartość x = |DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku


PIC


Sposób I

Pole trójkąta AEF będzie najmniejsze jeżeli suma pól trójkątów prostokątnych ABE ,ECF i ADF będzie największa. Szukamy zatem wartości największej funkcji

P (x) = P + P + P = ABE ECF ADF = 1-⋅1 ⋅(1− 2x) + 1-⋅2x ⋅(1 − x) + 1-⋅1 ⋅x = 2 2 2 1 2 1 2 = 2-(1− 2x + 2x − 2x + x) = 2(− 2x + x + 1).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

 −b − 1 1 x = ----= ----= -. 2a − 4 4

Na koniec pozostaje zauważyć, że otrzymana wartość x należy do dziedziny funkcji P(x ) .

Sposób II

Dorysujmy na płaszczyźnie układ współrzędnych tak, aby A = (0,0) i C = (1,1) . Wtedy F = (x ,1) i E = (1 ,1 − 2x ) . Zatem ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

 1- PABC = 2|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA )(xC − xA )|

mamy

P = 1-|(1 − 0)(1 − 0) − (1 − 2x − 0 )(x − 0)| = AEF 2 1 1 2 = 2-|1 − (1 − 2x )x| = 2|2x − x + 1|.

Ponieważ x < 1 , więc 1 − x > 0 , czyli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie i mamy

 1 2 PAEF = --(2x − x + 1). 2

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, czyli największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

 1 x = --. 4

Jak poprzednio zauważamy, że otrzymana wartość x należy do dziedziny funkcji P .  
Odpowiedź:  1 x = 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.