Zadania.info: zadanie nr 5131914, Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym 60° równa się, 623

Zadania

Zadania na ekstrema

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 5131914

Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym $∘ 6 0$ równa się $2s$ ( $s > 0$ ). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Oznaczmy $a$ – długość krótszej podstawy, $c$ – długość ramienia, $h$ – długość wysokości, $x$ – długość odcinka $AD ′$ .

Korzystając z trójkąta prostokątnego $AD ′D$ wyliczymy $a,c,h$ , a potem też pole, w zależności od $x$ .

x-= cos60 ∘ = 1- ⇒ c = 2x c 2 h ∘ √ -- √ -- --= tg 60 = 3 ⇒ h = x 3 x 2c+ 2a+ 2x = 2s ⇒ a = s− c − x = s − 3x .

Możemy teraz policzyć pole

√ -- √ -- PABCD = a-+-a+--2x-⋅h = 2s−--6x+--2x-⋅x 3 = 3x(s− 2x). 2 2

Wykres otrzymanej funkcji to parabola o ramionach skierowanych w dół. Jej wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie między miejscami zerowymi, czyli w połowie odcinka $1 ⟨0,2s⟩$ . Największa wartość pola otrzymamy zatem dla $x = s4$ . Z poprzednich wyliczeń mamy wtedy $a = 14s$ , $c = 12s$ a dłuższa podstawa to $a+ 2x = s − x = 3s 4$ . Pole trapezu jest wtedy równe

√ -- √ -- 3s2 P = 3x (s− 2x) = ------. 8

Odpowiedź: Podstawy: $1 3 4s,4s$ , ramiona: $1 2s$ , pole: $√-3s2 8$ .

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło