/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Kąty w trójkącie

Zadanie nr 5352225

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Ogólnie, to to co chcemy zrobić, to zamienić podaną informację o stosunku wysokości na informację o stosunku boków trójkąta – bo to, mniej więcej, daje funkcje trygonometryczne jego kątów. Najważniejsze to znaleźć jakąś równość w danym trójkącie, w której występują jednocześnie obie wysokości. Możliwości jest wiele, ale dwie najprostsze to

  • dwa wzory na pole: AB ⋅CE = CB ⋅AD ,
  • podobieństwo trójkątów CEB i ADB : CCEB-= AADB- .

Każda z tych równości prowadzi do wniosku

AB--= 1. CB 2

I to w zasadzie prawie koniec, zostało jeszcze sporo rachunków, ale są one dość oczywiste – jest już jasne, że kształt (a więc kąty) trójkąta ABC jest przez ten warunek jednoznacznie wyznaczony (z warunku z wysokościami nie było to całkiem jasne).

No to liczymy. Najpierw co s∡B = co s∡A :

 EB 1 AB 1 co s∡B = ----= --⋅ ----= -. CB 2 CB 4

Na wyliczenie co s∡C znowu jest wiele różnych sposobów, ale najmniej trickowy to wyliczenie  ∘ co s∡ECB = co s(90 − ∡B ) , a potem ze wzoru cos2α = 2co s2α − 1 . Liczymy:

cos ∡ECB = cos(90 ∘ − ∡B ) = sin ∡B = ∘ ------- √ --- ∘ ------------ 1 15 = 1 − co s2∡B = 1− 16-= -4--.

I dalej

cos∡C = cos2∡ECB = 2co s2∡ECB − 1 = = 2 ⋅ 15-− 1 = 7-. 16 8

 
Odpowiedź: cos∡A = cos ∡B = 14 , cos∡C = 7 8

Wersja PDF
spinner