/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 5445984

Rozwiąż równanie ( π) ( π-) 5 cos 2 x + 3 + 4 sin x + 3 = 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru

2 cos2α = 1− 2sin α,

mamy

( π ) ( π ) 5 1− 2 sin2 x+ -- + 4 sin x + -- = --. 3 3 2

Po podstawieniu ( π-) t = sin x + 3 , mamy

2 3 2t − 4t + --= 0. 2

Dalej, Δ = 16 − 12 = 4 , t = 1 2 lub t = 3 2 . Drugi z pierwiastków odrzucamy, bo sin x ∈ ⟨− 1,1⟩ . Zatem ( π) 1 sin x+ 3 = 2 , czyli

π π π 5 π x+ -- = -- + 2kπ lub x + -- = --- + 2k π 3 6 3 6 x = − π- + 2kπ lub x = π-+ 2kπ . 6 2

 
Odpowiedź: x = − π6-+ 2kπ lub x = π2-+ 2k π , k ∈ C

Wersja PDF