Zadania.info: zadanie nr 5777791, Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą, 497

Zadania

Graniastosłup

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 5777791

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem $45 ∘$ do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi $√ -- 5 6$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Przekrój, o którym mowa w zadaniu jest trapezem równoramiennym. Widać, że z podanego kąta nachylenia tego przekroju możemy uzależnić wysokość graniastosłupa $H$ w zależności od długości jego krawędzi podstawy $a$ .

-- -- P Q 1 a√ 3 a√ 3 ---- = tg 45∘ = 1 ⇒ H = PQ = P E = --⋅ -----= ----. PE 3 2 6

Skorzystaliśmy ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym oraz faktu, że środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokości w stosunku 2:1.

Trójkąt $EP Q$ jest połówką kwadratu, więc

√ -- √ -- EQ = EP 2 = a---6. 6

Do wyliczenia pola przekroju brakuje nam jeszcze długości podstawy $DG$ . Jak już napisaliśmy, środek ciężkości $G$ dzieli wysokość $C′F$ w stosunku 2:1, więc

DG = 2-A′B ′ = 2a. 3 3

Możemy teraz policzyć pole trapezu.

√ -- a + 2a √ -- √ -- 5 6 = AB--+-DG--⋅EQ = ----3--⋅ a--6- / : 6 2 2 6 5a2 5 = ---- ⇒ a = 6 . 36

Pozostało policzyć objętość.

√ -- √ -- √ -- a2 3 a2 3 a 3 a3 V = -----⋅ H = ------⋅-----= ---= 27. 4 4 6 8

Odpowiedź: 27

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło