/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Pole

Zadanie nr 6042672

Punkt P należy do boku BC trójkąta równobocznego ABC . Odcinek AP ma długość 6 i tworzy z bokiem AB kąt 45∘ . Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Niech D będzie rzutem punktu P na bo AB oraz AD = x, DB = y . Zauważmy, że trójkąt ADP jest równoramiennym trójkątem prostokątnym (jest to połówka kwadratu), więc

2 2 -6-- √ -- x + x = 36 ⇒ x = √ 2-= 3 2.

Z trójkąta prostokątnego DBP obliczamy DB = y .

√ -- x 3 2 √ -- --= tg 60∘ ⇒ y = √----= 6. y 3

W takim razie bok trójkąta ma długość

√ -- √ -- a = x+ y = 3 2 + 6

i pole jest równe

2√ -- √ ---√ -- √ -- √ -- P = a---3-= (6+--18+--6--12)--3-= 24--3-+-3-6 = 6 3 + 9. 4 4 4

Sposób II

Bok trójkąta możemy łatwo wyliczyć z twierdzenia sinusów w trójkącie ABP . Aby to zrobić policzmy najpierw ∘ sin 75 .

sin 75∘ = sin (30∘ + 45∘) = sin 30∘co s45∘ + sin45 ∘cos 30∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 1 2 3 2 2+ 6 = 2-⋅-2--+ --2-⋅ -2--= ----4----.

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABP .

AB AP ------∘ = ------∘ sin75 sin 60 √--a√--= √6- --2+-6- --3 4 √ 2- √ -- √ -- √ -- 12 2 + 6 3( 2 + 6 ) √ -- √ -- a = √---⋅----4-----= -----√-------= 6 + 3 2 3 3

Zatem pole jest równe

2√ -- √ ---√ -- √ -- √ -- P = a---3-= (6+--18+--6--12)--3-= 24--3-+-3-6 = 6 3 + 9. 4 4 4

 
Odpowiedź: 6√ 3-+ 9

Wersja PDF