/Szkoła średnia/Nierówności/Z pierwiastkami

Zadanie nr 6130679

Rozwiąż nierówność √ ------ √ ------ x + 1 − x − 2 ≤ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ustalmy najpierw jaka jest dziedzina nierówności.

x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 1 x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 .

Zatem musi być x ≥ 2 .

Sposób I

Zauważmy, że √ ------ √ ------ x + 1 > x− 2 (bo √ -- x jest funkcją rosnącą), więc lewa strona jest dodatnia. Możemy więc nierówność podnieść stronami do kwadratu.

√ ------ √ ------ x + 1 − x − 2 ≤ 1 /()2 ∘ --------------- x + 1 − 2 (x + 1 )(x− 2)+ x− 2 ≤ 1 ∘ --------------- 2x − 2 ≤ 2 (x + 1)(x − 2) ∘ --------------- x − 1 ≤ (x+ 1)(x− 2).

Przy naszym założeniu x ≥ 2 lewa strona jest dodatnia, możemy więc znowu podnieść do kwadratu.

2 2 x − 2x+ 1 ≤ x − x − 2 3 ≤ x.

Sposób II

Tym razem zapiszmy nierówność w postaci

√ ------ √ ------ x + 1 ≤ 1 + x − 2.

Obie strony są dodatnie, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

√ ------ x+ 1 ≤ 1 + 2 x − 2 + x − 2 √ ------ 2 ≤ 2 x − 2 / : 2 √ ------ 2 1 ≤ x − 2 / () 1 ≤ x − 2 ⇐ ⇒ 3 ≤ x.

 
Odpowiedź: 3 ≤ x

Wersja PDF