Zadanie nr 6281590

W trapezie ABCD ramiona mają długości AD = 10 oraz BC = 1 7 , zaś tangens kąta nachylenia ramienia do dłuższej podstawy wynosi . Wiedząc, że w dany trapez można wpisać okrąg oblicz

pole trapezu,
pole trójkąta .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc sumy przeciwległych boków są równe, są one więc równe . Skoro znamy sumę podstaw, to do wyliczenia pola trapezu potrzebna nam jest już tylko wysokość . Z podanej informacji o tangensie kąta , mamy
$4- -h-- 3- 3 = tg ∡A = AE ⇒ AE = 4 h.$

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie

$10 0 = h2 + -9-h2 16 25- 2 10 0 = 16 h 2 h = 64 h = 8.$

Stąd szukane pole

$P = 1-⋅27 ⋅8 = 4⋅27 = 108. 2$

Odpowiedź: 108
Aby wyliczyć pole trójkąta musimy się trochę bardziej wysilić, bo potrzebujemy długość podstawy . Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy długości odcinków i .
$∘ --------- √ --- AE = 1 00− h2 = 36 = 6 ∘ --------- √ ---- FB = 2 89− h2 = 225 = 15.$

Stąd

$DC + AE + EF + F B = 27 2DC + 6+ 15 = 27 DC = 3.$

Zatem

$1 1 PDBC = -DC ⋅h = --⋅3⋅ 8 = 12. 2 2$

Odpowiedź: 12