Zadania.info: zadanie nr 6415120, Punkty P(-2,-2), Q(1,-2) i R(-2,4) są środkami boków AB, BC i, 392

Zadanie nr 6415120

Punkty $P (− 2,− 2)$ , $Q (1,− 2)$ i $R(− 2,4 )$ są środkami boków $AB$ , $BC$ i $AC$ trójkąta $ABC$ . Oblicz:

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Niech $A = (x ,y ) A A$ , $B = (x ,y ) B B$ , $C = (x ,y ) C C$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka o końcach $M (p,q)$ i $N = (r,s)$
$( ) p-+--r q+--s 2 , 2 ,$
otrzymujemy zależności
$( ( |{ xA + xB = − 4 |{ yA + yB = − 4 xB + xC = 2 yB + yC = − 4 |( |( xA + xC = − 4 yA + yC = 8$
W każdym z układów, odejmujemy od pierwszego równania drugie i dodajemy trzecie. Otrzymamy $2xA = − 10$ i $2yA = 8$ , czyli $A = (− 5,4)$ . Stąd już łatwo otrzymać $B = (1,− 8)$ i $C = (1,4)$ .

Sposób II

Jak poprzednio, zacznijmy od rysunku.

Ponieważ odcinek $PQ$ jest równoległy do boku $AC$ i jest od niego dwa razy krótszy, to $→ → PQ = AR$ . To pozwala łatwo wyliczyć współrzędne punktu $A = (x,y)$ .
$→ PQ = [3,0] → AR = [− 2 − x,4 − y] → → PQ = AR [3 ,0] = [− 2 − x,4 − y ] ⇒ A = (x,y ) = (− 5,4).$
Podobnie wyliczamy współrzędne pozostałych punktów.
Odpowiedź: $A = (− 5,4)$ , $B = (1,− 8)$ oraz $C = (1,4)$
Korzystając z poprzedniego podpunktu, możemy obliczyć długości boków danego trójkąta. $∘ --------- √ ------ √ -- AB = 62 + 122 = 6 1+ 4 = 6 5 ∘ --------- BC = 02 + 122 = 1 2 ∘ -2----2 AC = 6 + 0 = 6.$
Obwód wynosi więc $√ -- 18+ 6 5$ .
Odpowiedź: $√ -- 18+ 6 5$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło