Zadania.info: zadanie nr 6569995, Dany jest ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym a

Zadanie nr 6569995

Dany jest ciąg $(an)$ o wyrazie ogólnym $2n2−-3n+-1 an = 2n− 1$ .

Uzasadnij, że wszystkie wyrazy ciągu $(an)$ są liczbami naturalnymi.
Który wyraz jest równy 5?
Różnica sześcianów dwóch kolejnych wyrazów ciągu $(an)$ wynosi (-1261). Wyznacz te wyrazy.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że każdy wyraz ciągu jest liczbą naturalną, spróbujmy podzielić $2n 2 − 3n + 1$ przez $2n− 1$ . My zrobimy to grupując wyrazy $2n2 − 3n + 1 = 2n 2 − n− 2n + 1 = (2n − 1)(n− 1).$
Mamy zatem
$an = n − 1 .$
Pozostaje zauważyć, że dla $n > 1$ liczby te są dodatnie, są to więc liczby naturalne. Natomiast $a1 = 0$ stwierdzenie czy jest to liczba naturalna, zależy od przyjętej deﬁnicji liczb naturalnych.
Z poprzedniego punktu jest jasne, że $a6 = 5$ .
Odpowiedź: $a6 = 5$
Musimy rozwiązać równanie (z niewiadomą $n$ ) $3 3 an − an+ 1 = − 1261 (n − 1 )3 − n 3 = − 1261 n 3 − 3n 2 + 3n − 1− n3 = − 126 1 2 0 = 3n − 3n − 126 0 0 = n2 − n − 420.$
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe $2 Δ = 1 + 1680 = 1681 = 4 1$ , $n = − 20$ lub $n = 21$ . Ujemne rozwiązanie odrzucamy i zostaje $n = 21$ . Zatem szukane wyrazy to $a21 = 20$ i $a22 = 21$ .
Odpowiedź: $a = 20 21$ i $a = 21 22$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło