/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Kąty, funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 7084684

Oblicz tangens kąta ostrego utworzonego przez proste zawierające środkowe trójkąta prostokątnego równoramiennego poprowadzone na przyprostokątne.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Załóżmy, że przyprostokątne mają długość 2a .

PIC

Sposób I

Plan jest następujący. Cosinus szukanego kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASE . Do tego będziemy potrzebować długości odcinków AS i SE . Te łatwo jednak obliczyć z faktu, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (jeżeli ktoś tego nie wie, to łatwo można to zauważyć patrząc na trójkąty podobne ABS i ESD – pierwszy jest dwa razy większy od drugiego).

Liczymy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ADC i mamy

∘ ------------ ∘ --------- √ -- AD = AC 2 + CD 2 = 4a2 + a2 = a 5 .

Stąd

√ -- 2- 2a--5- AS = 3 AD = 3 √ -- SE = 1-AD = a--5. 3 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta ASE .

2 2 2 AE = AS + SE − 2AS ⋅SE cosα 2 20- 2 5-2 20- 2 a = 9 a + 9a − 9 a co sα 1 6 4 9 = 25 − 20 cosα ⇒ cos α = --- = --. 2 0 5

Sinus możemy obliczyć z jedynki trygonometrycznej.

------- ∘ ---------- ∘ 16 3 sin α = 1 − co s2α = 1− ---= -. 25 5

Mamy zatem

sin α 3 tg α = ----- = -. co sα 4

Sposób II

Z trójkąta prostokątnego EBC mamy

CB-- tg∡CEB = CE = 2 .

Z drugiej strony mamy

∘ α = 180 − ∡ESD = = 180∘ − (360 ∘ − ∡CES − ∡ECD − ∡CDS ) = − 9 0∘ + 2∡CEB .

Zatem

ctg α = − ctg(90∘ − 2∡CEB ) = − tg2∡CEB .

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru

tg 2x = --2-tg-x--. 1 − tg2 x

Mamy więc

-2-tg∡CEB----- --4--- 4- ctg α = − tg 2∡CEB = − 1− tg 2∡CEB = − 1− 4 = 3.

Zatem tg α = 3 4 .  
Odpowiedź: 3 4

Wersja PDF