Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7873550

Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD , w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: ∡A = 90 ∘ , ∡B = 75∘ , ∡C = 6 0∘ , ∡D = 1 35∘ , a boki AB i AD mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zróbmy najpierw rysunek pomocniczy.


PIC


Trójkąt ABD jest równoramienny i prostokątny, zatem jego kąty przy wierzchołkach B i D są równe 45∘ . W połączeniu z podanymi w treści zadania miarami kątów, daje to nam: ∡BDC = 90∘ oraz ∡CBD = 30 ∘ . Pole trójkąta ABD jest równe:

 1 9 PABD = --⋅3 ⋅3 = --. 2 2

Pozostaje zatem obliczyć pole drugiego trójkąta - CBD . Aby to zrobić musimy obliczyć długości jego przyprostokątnych. Jedna z nich to przeciwprostokątna trójkąta ABD – obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa, drugą obliczymy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie CBD .

Liczymy BD :

 ∘ ------------ √ ------ √ -- BD = AB 2 + AD 2 = 9+ 9 = 3 2

Aby policzyć CD , zauważmy, że ctg ∡C = CD- BD . Mamy stąd:

 √ -- √ -- 3 √ -- CD = BD ⋅ctg ∡C = BD ⋅ctg6 0∘ = 3 2 ⋅----= 6. 3

Bez trudu obliczamy teraz pole czworokąta ABCD :

 9 1 √ -- √ -- 9 √ -- PABCD = PABD + PCBD = --+ --⋅3 2 ⋅ 6 = --+ 3 3 2 2 2

 
Odpowiedź: 9 √ -- 2 + 3 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.