Zadania.info: zadanie nr 7911089, Sinus pewnego kąta ostrego α, liczba frac{2}{3} oraz cosinus, 371

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 7911089

Sinus pewnego kąta ostrego $α$ , liczba $2 3$ oraz cosinus tego samego kąta $α$ tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz sumę $sin α + cos α$ .

Rozwiązanie

Jeżeli trzy liczby $a,b$ i $c$ tworzą ciąg geometryczny to $2 b = ac$ .

Sposób I

Mamy równość

( ) 2- 2 3 = sin α⋅co sα 4-= sin α⋅ cosα. 9

Korzystamy teraz z tożsamości

(sinα + co sα)2 = sin2 α+ 2sin αco sα + cos2 α = 1 + 2sin αco sα.

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym mamy

√ ---------------- sin α + cos α = 1 + 2 sin α cosα ∘ ------ 8- sin α + cos α = 1+ 9 √ --- sin α + cos α = --1-7. 3

Sposób II

Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα 2 2 cos2 α = 2 cos α − 1 = 1 − 2 sin α

Mamy równanie

( ) 2 2- 3 = sinα ⋅cos α / ⋅2 8-= 2 sin α ⋅cos α 9 8- 9 = sin 2α.

Dalszy plan działania jest następujący, z jedynki trygonometrycznej wyliczymy $co s2α$ a ze wzorów na $cos 2α$ wyliczymy $sinα$ i $cos α$ . Liczymy

cos22α = 1− sin 22α cos22α = 1− 64- 81 2 17 cos 2α = --- 81

Mamy zatem $√-17 cos 2α = 9$ lub $√-17 cos 2α = − 9$ (pomimo, że $α$ jest kątem ostrym, $2α$ już taki być nie musi, nie wiemy więc czy cosinus jest dodatni). Mamy wtedy odpowiednio