Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8099890

Trójkąt o bokach długości 5, 8 i 9 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Aby obliczyć ich objętości musimy wyznaczyć długość r promienia tej podstawy. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BE = x , to wyliczając długość odcinka AE z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AEB i AED mamy równanie

AB 2 − BE 2 = AD 2 − DE 2 2 5− x 2 = 64 − (9− x)2 2 2 2 5− x = 64 − 81 + 18x − x 1 8x = 42 x = 7. 3

Stąd

 49 17 6 r2 = AB 2 − x2 = 25 − ---= ----. 9 9

Stąd szukana objętość wynosi

 1 2 1 2 2 176 V = --πr x + -πr (9 − x ) = 3πr = ----π. 3 3 3

Sposób II

Długość promienia r to dokładnie wysokość opuszczona na bok BD w trójkącie ABD . Aby ją wyznaczyć wystarczy znać pole trójkąta, a to możemy wyliczyć ze wzoru Herona. Mamy  1 p = 2(a + b + c) = 11 oraz

 ∘ ----------------------- √ ----------- √ --- P = p(p − a)(p − b)(p − c) = 11⋅6 ⋅3 ⋅2 = 6 1 1.

Stąd

 1- P = 2BD ⋅r √ --- 9 6 11 = -r √ --2 4--1-1 r = 3 176 r2 = ----. 9

Dalej liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: V = 1736π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.