Zadania.info: zadanie nr 8524387, Wyznacz liczby a oraz b, dla których ciąg (a,b,1) jest ciągiem, 722

Zadania

Arytmetyczny i geometryczny

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 8524387

Wyznacz liczby $a$ oraz $b$ , dla których ciąg $(a,b ,1 )$ jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg $(1 ,a,b)$ jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli liczby $x ,y,z$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to $2y = x+ z$ . Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to $y2 = xz$ . Mamy zatem układ równań

{ 2b = a + 1 2 a = b.

Podstawiając wartość $b$ z drugiego równania do pierwszego mamy

2 2a = a+ 1 2a 2 − a − 1 = 0

Rozwiązujemy to równanie, $Δ = 1+ 8 = 9 = 32$ , $a = − 1 2$ lub $a = 1$ . Ponieważ $2 b = a$ , daje to nam dwie pary rozwiązań:

( 1 1 ) (a ,b ) = − -,-- lub (a,b ) = (1,1). 2 4

Sposób II

Jeżeli $(1,a,b)$ jest ciągiem geometrycznym to jego iloraz musi być równy $a 1 = a$ . Zatem $2 b = a$ i wiemy, że ciąg $2 (a,a ,1)$ jest ciągiem arytmetycznym. Zatem

2a2 = a+ 1 ⇒ 2a2 − a− 1 = 0.

Dalej liczymy jak poprzednio.
Odpowiedź: $( ) (a,b) = − 1, 1 2 4$ lub $(a,b) = (1,1)$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło