Zadania.info: zadanie nr 9130751, Dany jest wykres funkcji y=f(x), której dziedziną jest zbiór, 390

Zadanie nr 9130751

Dany jest wykres funkcji $y = f (x)$ , której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wyznacz wzór tej funkcji korzystając z danych na rysunku.
Określ monotoniczność funkcji f.
Napisz, jaką najmniejszą wartość przyjmuje funkcja $f$ dla argumentów należących do przedziału $⟨1;6⟩$ .
Narysuj wykres funkcji $g$ określonej wzorem: $g (x) = f(x )+ 2$ .

Rozwiązanie

Z wykresu widać, że funkcja będzie miała inny wzór na przedziale $(− ∞ ,3⟩$ a inny na $⟨3 + ∞ )$ . Jeżeli chodzi o pierwszy przedział, to na nim jest to funkcja liniowa, która przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,− 4)$ , jest więc postaci $y = ax− 4$ . Współczynnik $a$ wyznaczamy z faktu, że wykres ten przecina oś $Ox$ w punkcie $(2,0)$ . Zatem $0 = 2a− 4 ⇒ a = 2.$
Teraz zajmijmy się funkcją na przedziale $⟨3+ ∞ )$ . Aby napisać wzór tej funkcji skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A = (xA ,yA)$ i $B = (xB,yB )$ :
$(y − yA )(xB − xA )− (yB − yA)(x − xA ) = 0.$
W naszej sytuacji $A = (3,2 ), B = (6,3)$ oraz
$(y − 2)(6 − 3) − (3 − 2)(x − 3) = 0 3(y − 2 )− (x − 3 ) = 0 1- 3y − 6 − x + 3 = 0 ⇒ y = 3x + 1.$
Zatem wzór funkcji jest następujący
${ 1 3x + 1 dla x ≥ 3 f(x ) = 2x − 4 dla x < 3.$

Odpowiedź: ${ 1 f(x ) = 3x + 1 dla x ≥ 3 2x − 4 dla x < 3.$
Z wykresu widzimy, że funkcja jest rosnąca.
Odpowiedź: Rosnąca.
Odczytujemy z wykresu: $f(1) = − 2$ .
Odpowiedź: $f(1) = − 2$
Wykres funkcji $g$ powstaje z wykresu funkcji $f$ przez przesunięcie o dwie jednostki w górę.