/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Różne

Zadanie nr 9333853

Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt D , że |CD | : |DB | = 2 : 1 . Oblicz tangens kąta ∡CAD i znajdź stosunek promieni okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AB = 3a i ∡CAD = α . Przy tych oznaczeniach CD = 2a .

PIC

Sposób I

Aby obliczyć sin α , musimy obliczyć AD (żeby móc zastosować twierdzenie sinusów). Obliczymy długość tego odcinka z twierdzenia cosinusów.

AD 2 =AC 2 + CD 2 − 2AC ⋅CD cos ∡C = 1 = 9a2 + 4a2 − 12a2 ⋅--= 7a 2 √ -- 2 AD = 7a.

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ADC .

-CD-- --AD--- sinα = sin 60∘ √ -- -2a--= -√7a- / : 2a sinα --3 √ 2- √ -- --1-- √-7- √-3- sinα = 3 ⇒ sin α = 7 .

Ponieważ kąt α jest ostry, jego cosinus możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej.

∘ ------ co sα = 1− 3-= √2-. 7 7

Zatem

√- sinα √3- √ 3- tgα = ----- = -7-= ---. cos α √27- 2

Ponieważ

-AD---- -AD---- sin ∡C = sin ∡B

to na mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABD są równe.

Sposób II

Tym razem zauważmy, że na mocy wzoru na sinus sumy mamy

∘ ∘ ∘ sin ∡ADC = sin(18 0 − (α+ 60 )) = sin(α + 60 ) = √ -- = sin αco s60∘ + sin6 0∘cos α = 1-sin α+ --3-cosα . 2 2

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ADC .

CD--- ---AC------ sin α = sin∡ADC 2a 3a -----= ---------√-------- sin α 12 sin α + -23co sα ( √ -- ) 2 1-sinα + --3co sα = 3 sin α 2 2 √ -- 3cos α = 2 sin α / : 2co sα √ -- --3-= tg α. 2

Stosunek promieni obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: √ - tg ∡CAD = --3 2 , stosunek promieni: 1

Wersja PDF