Zadania.info: zadanie nr 9333853, Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt D, że, 1421

Zadania

Równoboczny

Kąty (5)
Oblicz długość... (5)
Pole (10)
Udowodnij... (8)

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Oblicz długość...

Zadanie nr 9333853

Na boku $BC$ trójkąta równobocznego $ABC$ obrano taki punkt $D$ , że $|CD | : |DB | = 2 : 1$ . Oblicz tangens kąta $∡CAD$ i znajdź stosunek promieni okręgów opisanych na trójkątach $ACD$ i $ABD$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Aby obliczyć $sin∡CAD$ , musimy obliczyć $AD$ (żeby móc zastosować twierdzenie sinusów). Policzymy ten odcinek z twierdzenia cosinusów, aby jednak móc to zrobić musimy jakoś oznaczyć długości boków trójkąta. Jeżeli oznaczymy $AB = AC = CB = 3a$ , to $CD = 2a$ . Liczymy

AD 2 =AC 2 + CD 2 − 2AC ⋅CD cos ∡C = = 9a2 + 4a2 − 12a2 ⋅ 1-= 2 = 7a 2 √ -- AD = 7a.

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów

---CD------ -AD---- sin ∡CAD = sin ∡C √ -- ----2a-----= -√7a- sin ∡CAD -3- √2-- ----1------ --7- sin ∡CAD = √ 3 √ -- sin ∡CAD = √-3. 7

Ponieważ kąt $∡CAD$ jest ostry, jego cosinus możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej.

∘ ------ co s∡CAD = 1− 3-= √2-. 7 7

Zatem

√ -- sin-∡CAD--- --3- tg ∡CAD = co s∡CAD = 2 .

Ponieważ

-AD----= -AD---- sin ∡C sin ∡B

to na mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach $ACD$ i $ABD$ są równe.
Odpowiedź: $√ - --3 tg ∡CAD = 2$ , stosunek promieni: 1

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło