Zadania.info: zadanie nr 957996, Przekształcenie P określone jest w następujący sposób: P(x,y)=(y+2,x-1),, 401

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Przekształcenia

Zadanie nr 957996

Przekształcenie $P$ określone jest w następujący sposób: $P (x,y) = (y + 2,x − 1)$ , gdzie $x ,y ∈ R$ .

Wykaż, że przekształcenie $P$ jest izometrią.
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach $A (− 1,2)$ , $B(2,− 4)$ , $C(1,5 )$ , a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu $P$ .
Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną na bok $AB$ .
Oblicz pole trójkąta $′′ ′′ ′′ A B C$ , który jest obrazem trójkąta $ABC$ w jednokładności o środku w punkcie (0,0) i skali $k = −5$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcenie $P$ możemy rozpisać następująco
$P (x,y) = T (S(x,y)),$
gdzie $S(x,y) = (y ,x)$ i $T(x,y ) = (x+ 2,y − 1)$ . Przekształcenie to jest zatem złożeniem symetrii względem prostej $y = x$ z przesunięciem (translacją) o wektor $[2,− 1]$ (najpierw symetria, potem translacja). Jest to więc izometria.

Sposób II

Musimy sprawdzić, że przekształcenie to zachowuje odległość. Jeżeli $A = (x1,y1)$ i $B = (x2,y2)$ , to $P (A) = (y1 + 2 ,x1 − 1)$ , $P(B ) = (y2 + 2,x2 − 1)$ . Mamy zatem
$∘ --------------------------------------- |P (A)P (B)| = (y2 + 2 − y 1 − 2 )2 + (x2 − 1 − x1 + 1)2 = ∘ ----------------------- = (y2 − y 1)2 + (x 2 − x 1)2 = |AB |.$
Korzystając ze wzoru na $P$ (z treści zadania), wyliczamy $P(A ) = (4,− 2), P(B ) = (− 2,1), P (C) = (7 ,0).$
Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$ $p (x− x0)+ q(y− y0) = 0.$
W naszej sytuacji
$→ →v = AB = [3 ,−6 ],$
oraz $(x 0,y0) = C = (1,5)$ . Stąd szukana prosta to
$3(x − 1)− 6(y − 5) = 0 (x− 1)− 2(y− 5) = 0 x− 2y + 9 = 0.$

Odpowiedź: $x − 2y + 9 = 0$
Aby obliczyć pole trójkąta $ABC$ , korzystamy ze wzoru $1- PABC = 2|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA)(xC − xA)|.$
W naszej sytuacji
$P = 1|3 ⋅3− (− 6)⋅2| = 21. ABC 2 2$
Ponieważ pole przy jednokładności zmienia się jak kwadrat skali (bo odcinki zmieniają się jak skala, a pole to iloczyn dwóch odcinków), to
$21 525 PA ′′B′′C′′ = 5 2PABC = 25⋅ ---= ----= 262,5. 2 2$

Odpowiedź: 262,5