/Szkoła średnia/Zadania testowe/Liczby/Liczby wymierne

Zadanie nr 3307570

Rozwinięcie dziesiętne nieskracalnego ułamka zwykłego u jest ułamkiem dziesiętnym okresowym, który można zapisać w postaci 0,(xyz ) . Wiemy, że cyfra znajdująca się na 16 miejscu po przecinku tego rozwinięcia jest równa 2, cyfra znajdująca się na miejscu 23 jest równa 3, a cyfra znajdująca się na miejscu 18 jest równa 7. Licznik ułamka u jest więc równy
A) 79 B) 273 C) 237 D) 244

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyznaczamy cyfry x ,y ,z . Ponieważ cyfry okresu powtarzają się co 3, na miejscu 16 po przecinku stoi ta sama cyfra co na miejscu 1 6− 1 5 = 1 , czyli x . Zatem x = 2 . Podobnie, na miejscach 23 i 18 stoją te same cyfry, co odpowiednio na miejscach 2 i 3. Zatem y = 3 i z = 7 , czyli

u = 0,(23 7).

Zamieńmy tę liczbę na ułamek zwykły.

u = 0,(237) ⋅1000 100 0u = 23 7,(237) = 23 7+ u 2-37 79-- 999u = 237 ⇒ u = 9 99 = 333.

Ponieważ 33 3 = 9 ⋅37 otrzymany ułamek jest nieskracalny, czyli szukany licznik to 79.  
Odpowiedź: A

Wersja PDF