Zadania.info: zadanie nr 226951, Rozwiąż równanie lim _{n→ +∞}(sin 2x+sin ^3 2x+sin, 13

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 8479 zadań, 413 zestawów, 30 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Podobne strony

cornersR

/Studia

Zadanie nr 226951

Rozwiąż równanie $3 5 2n−1 2 nl→im+∞ (sin 2x + sin 2x + sin 2x + ⋅ ⋅⋅+ sin 2x) = 3$ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Lewa strona to po prostu, trochę nietypowo zapisana, suma szeregu geometrycznego będącego w nawiasie. Szereg ten jest zbieżny o ile $|q| = |sin22x | < 1$ , czyli dla $sin 2x ⁄= 1$ i $sin2x ⁄= − 1$ . Mamy wtedy

--sin-2x---= 2-. 1 − sin22x 3

Podstawiając $t = sin 2x$ mamy

t = 2-(1− t2) 3 3t = 2 − 2t2 2t2 + 3t− 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 25 −-3-−-5 −-3-+-5 1- t1 = 4 = − 2, t2 = 4 = 2.

Zatem

sin 2x = 1- 2 π- 5π- 2x = 6 + 2kπ ∨ 2x = 6 + 2kπ π 5π x = ---+ k π ∨ x = ---+ kπ . 12 12

Odpowiedź: $π 5π x = 12 + kπ ∨ x = 12-+ kπ$ dla $k ∈ C$

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!