/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Procenty

Zadanie nr 2816194

Na budowę domu możesz zaciągnąć pożyczkę w wysokości 63450 €. Do wyboru są dwa warianty spłaty:
I – w każdym miesiącu spłacasz równe raty, każdą w wysokości 2% pożyczonej kwoty.
II – pierwsza rata miesięczna wynosi 2500 €, a każda następna jest o 50 € mniejsza niż poprzednia.

Ile miesięcy potrwa spłata mieszkania w każdym z wariantów?

Wersja PDF

Rozwiązanie

W I wariancie każda rata wynosi -1 2% = 50 całej kwoty kredytu. Spłata będzie więc trwać 50 miesięcy.

W II wariancie raty zmieniają się jak wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy -50. Po n miesiącach spłaty, suma wszystkich rat będzie więc wynosić (wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego)

2a 1 + (n − 1)r Sn = ---------------⋅n = (2500 − (n − 1 )25)⋅n . 2

Mamy więc równanie

(2500 − (n − 1)25 )⋅n = 63450 2 2500n − 2 5n + 25n = 63450 / : 25 100n − n 2 + n = 2538 n2 − 101n + 25 38 = 0.

Dalej, Δ = 1012 − 4 ⋅2538 = 49 , n = 47 lub n = 54 . Zauważmy, że tylko pierwsza z wartości stanowi rozwiązanie – druga z nich odpowiada sytuacji, gdy raty zaczynają być ujemne, co oczywiście nie ma sensu.  
Odpowiedź: I wariant: 50 miesięcy, II wariant: 47 miesięcy.

Wersja PDF