/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2013

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 4 lutego 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cos2 x− 2cos2 xsin x = 1 − sinx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 2
(4 pkt)

Dany jest czworokąt ABCD . Niech S będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |AS| |BS| |DS| = |CS|- .

Zadanie 3
(4 pkt)

Dane są funkcje f (x) = 2axx++b1- oraz g(x ) = aaxx++c1- , o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt wspólny ( ) 11 P − 9 ,13 , a miejscem zerowym funkcji g jest liczba: 5 − 3 . Wyznacz wartości parametrów a,b ,c .

Zadanie 4
(4 pkt)

Narysuj wykres funkcji f (x) = cosxc+o|ssxin-x| dla ( ) ( ) ( ) x ∈ − 3π2-,− π2- ∪ − π2, π2- ∪ π2-, 32π . Podaj zbiór rozwiązań nierówności 0 ≤ f(x) < 2 .

Zadanie 5
(4 pkt)

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 12, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

Zadanie 6
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty przyległe do niego mają miary 45∘ i 105 ∘ . Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci √ - a+ b⋅ c , gdzie a , b , c są liczbami wymiernymi.

Zadanie 7
(4 pkt)

Dany jest wielomian W (x) stopnia n > 2 , którego suma wszystkich współczynników jest równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta R (x) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x ) = (x+ 1)(x − 1) jest równa R (x) = 2x + 2 .

Zadanie 8
(5 pkt)

Narysuj wykres funkcji 3 2 ( 1 2 3) f(x) = log 2(−x − 5x − 3x + 9) − log2 − 2x − x + 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą będzie 3 lub największą wylosowaną liczbą będzie 7.

Zadanie 10
(5 pkt)

Punkty B = (5 ,6 ) i C = (0,6) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD , którego podstawy AB i CD są prostopadłe do prostej k o równaniu y = − 12x + 1 . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt D należy do prostej k .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c ∈ R zachodzi nierówność

a2 + 4b2 + 3c2 + 13 ≥ 2a + 12b + 6c.

Zadanie 12
(4 pkt)

W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania