/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 1446145

Na okręgu o promieniu 1 opisano trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości x i y .

  • Wyznacz y jako funkcję x i określ dziedzinę tej funkcji.
  • Sporządź wykres tej funkcji.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

  •  

    Sposób I

    Ze wzoru 1 P = 2(a + b + c)r mamy

    ∘ -------- 1xy = 1-(x + y+ x2 + y2) 2 2 ∘ -------- 2 2 2 xy − x − y = x + y () x2y2 + x2 + y2 − 2x2y − 2xy 2 + 2xy = x 2 + y2 x2y2 − 2x2y − 2xy 2 + 2xy = 0 / : xy xy − 2x − 2y + 2 = 0 y(x − 2) = 2x − 2 2x − 2 2x − 4 + 2 2 y = -------= -----------= 2 + ------. x − 2 x − 2 x − 2

    Dziedziną tej funkcji jest przedział (2,+ ∞ ) (inaczej półprosta CB nie przecina prostej AB ).

    Sposób II

    Niech D ,E ,F będą punktami styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta. Wtedy

    BC = BF + CF = BE + CD = x − 1+ y− 1 = x + y − 2.

    Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

    AC 2 + AB 2 = BC 2 2 2 2 x + y = (x+ y− 2) x 2 + y 2 = x2 + y2 + 4+ 2xy − 4x − 4y 4x − 4 = y(2x − 4) : /(2x − 4) 2x-−-2- 2x-−-4-+-2- --2--- y = x− 2 = x − 2 = 2+ x− 2.

    Dziedziną tej funkcji jest przedział (2,+ ∞ ) (bo musi być: CD > AD ).  
    Odpowiedź: y = 2 + -2-- x− 2 , dziedzina: (2,+ ∞ ) .

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że jest to hiperbola 2 x przesunięta o wektor [2,2] i obcięta do przedziału (2,+ ∞ ) .
    PIC
Wersja PDF