Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria
Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Na bokach trójkąta równobocznego wybrano kolejno punkty tak, że , i .
Wykaż, że trójkąt jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta .
Okrąg przecina boki czworokąta kolejno w punktach (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , to w czworokąt można wpisać okrąg.
Dany jest trójkąt prostokątny o polu i kącie ostrym . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Dany jest trójkąt prostokątny o polu i kącie ostrym . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Dany jest trójkąt prostokątny o polu i kącie ostrym . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest boków i wyraża się wzorem .
- Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
- Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
- Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
- Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.
Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ma miarę . Przekątna ma długość 6, a przekątna jest prostopadła do boku . Oblicz długości boków równoległoboku.
W czworokącie wypukłym (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: oraz . Wykaż, że .
Dane są trzy okręgi , i . Okręgi , są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu (patrz rysunek). Promienie okręgów i są odpowiednio równe i , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka jest równa , gdzie odcinek jest cięciwą okręgu i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów i .
Udowodnij, że jeżeli punkt jest środkiem ciężkości trójkąta, to .
Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecina boki i odpowiednio w punktach i .
Wykaż, że .
Na bokach i kwadratu o boku długości 1 wybrano punkty i w ten sposób, że i , dla . Niech będzie punktem przecięcia odcinków i
- Wykaż, że jeżeli trójkąt jest prostokątny to .
- Oblicz cosinus kąta jeżeli i .
Dany jest trapez prostokątny o podstawach i , w którym boki i są prostopadłe. Dwusieczne kątów i przecinają się w punkcie leżącym na boku . Wykaż, że .
W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami.
Dany jest pięciokąt foremny o boku długości . Wiedząc, że
- wykaż, że długość przekątnej pięciokąta jest równa ;
- oblicz długość promienia okręgu wpisanego w pięciokąt .
Dany jest trójkąt o wymiarach . Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali 5.
Dany jest trójkąt o wymiarach . Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali .
Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.
Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów poprowadzono dwie wspólne styczne: jedną zewnętrzną i jedną wewnętrzną. Proste te przecinają się pod kątem . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.
Ramię trapezu równoramiennego ma długość . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Dany jest prostokąt o polu 12, w którym długość przekątnej jest liczbą z przedziału . Wykaż, że obwód tego prostokąta jest liczbą z przedziału .
Na bokach i rombu wybrano odpowiednio punkty i tak, że . Pole pięciokąta jest 17 razy większe niż pole trójkąta . Punkt jest punktem wspólnym odcinka i przekątnej . Oblicz Oblicz .
Na bokach , i kwadratu wybrano punkty , i ten sposób, że , , oraz .
- Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
- Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta .