Na bokach prostokąta o obwodzie 16 cm opisano, jako na średnicach, półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Zbadaj, dla jakich długości boków prostokąta, pole figury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze. Oblicz to pole
/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria
Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątna w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.
Kąty trójkąta spełniają zależność
Oblicz wartość wyrażenia .
Punkt jest punktem wspólnym dwusiecznych kątów i trapezu o podstawach i . Punkt jest środkiem odcinka (zobacz rysunek).
Wykaż, że .
W trójkącie ostrokątnym dane są długości boków: , . Pole trójkąta jest równe . Oblicz
- długość boku ;
- sinus kąta ;
- pole koła opisanego na trójkącie ;
- długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny . Punkty i dzielą przeciwprostokątną na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta .
Dany jest trójkąt , w którym i . Na boku leży punkt taki, że oraz . Oblicz pole trójkąta .
Na bokach i kwadratu wybrano punkty i w ten sposób, że i . Uzasadnij, że .
Na okręgu o promieniu 8 cm opisano trapez. Kąty, które tworzą ramiona z dłuższą podstawą mają miarę . Oblicz pole tego trapezu.
Wiedząc, że punkt jest środkiem odcinka , a punkt jest środkiem odcinka oraz , wykaż, że .
W trapezie prostokątnym na rysunku poniżej dane są: oraz .
Oblicz:
- miarę kąta ostrego trapezu przy wierzchołku ,
- długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu.
W trójkącie na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi , w ten sposób, że do okręgu należą punkty , do – punkty , a do – punkty . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.
Okrąg przechodzi przez wierzchołek trójkąta i przecina jego boki i odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez wierzchołek , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie .
W trójkącie dane są: , i . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta .
W kąt o mierze wpisano pięć kół tak, że każde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.
Prosta przechodząca przez środek kwadratu przecina proste zawierające jego boki i odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek).
Wykaż, że
W trójkącie dane są długości boków: , . Wiadomo też, że miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Na rysunku przedstawiono trapez i trójkąt . Punkt leży w połowie odcinka . Uzasadnij, że pole trapezu i pole trójkąta są równe.
Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 2 i 3, a przekątne długości 3 i 4.
Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej figury.
Pole prostokąta jest równe 60, a promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy 2. Oblicz obwód tego prostokąta.