Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Wyszukiwanie zadań

Na bokach prostokąta o obwodzie 16 cm opisano, jako na średnicach, półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Zbadaj, dla jakich długości boków prostokąta, pole figury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze. Oblicz to pole

Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątna w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

Punkt E jest punktem wspólnym dwusiecznych kątów ABC i BCD trapezu ABCD o podstawach AB i CD . Punkt F jest środkiem odcinka BC (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że |BC | = 2|EF | .

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są długości boków: |AC | = 6 , |BC | = 10 . Pole trójkąta jest równe  √ -- 15 3 . Oblicz

  • długość boku AB ;
  • sinus kąta BAC ;
  • pole koła opisanego na trójkącie ABC ;
  • długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC . Punkty D i E dzielą przeciwprostokątną AB na trzy odcinki równej długości. Oblicz cosinus kąta DCE .

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | = 17 i |BC | = 10 . Na boku AB leży punkt D taki, że |AD | : |DB | = 3 : 4 oraz |DC | = 1 0 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Na bokach AD , AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że |LK |+ |LM | = |AC | .


PIC


Na okręgu o promieniu 8 cm opisano trapez. Kąty, które tworzą ramiona z dłuższą podstawą mają miarę 30∘ . Oblicz pole tego trapezu.

Wiedząc, że punkt E jest środkiem odcinka AD , a punkt C jest środkiem odcinka BE oraz |AC | = |AE | , wykaż, że |AB | = |CD | .


PIC


W trapezie prostokątnym ABCD na rysunku poniżej dane są: |AD | = 8 cm ,|DC | = 7 cm oraz |AC | = 13 cm .


PIC


Oblicz:

  • miarę kąta ostrego trapezu przy wierzchołku A ,
  • długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu.

W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .


PIC


Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

W trójkącie ABC dane są:  -8 cos ∡A = − 17 ,  4 cos ∡B = 5 i |AB | = 24 . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta ABC .

W kąt o mierze  ∘ 60 wpisano pięć kół tak, że każde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.

Prosta przechodząca przez środek S kwadratu ABCD przecina proste zawierające jego boki AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że

--1---+ --1---= ---4--. |SL |2 |SK |2 |AB |2

W trójkącie ABC dane są długości boków: |AC | = 9 , |BC | = 7 . Wiadomo też, że miara kąta ∡ABC jest dwa razy większa od miary kąta ∡BAC . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Na rysunku przedstawiono trapez ABCD i trójkąt AF D . Punkt E leży w połowie odcinka BC . Uzasadnij, że pole trapezu ABCD i pole trójkąta AF D są równe.


PIC


Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 2 i 3, a przekątne długości 3 i 4.

Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu r = 2 takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej figury.


PIC


Pole prostokąta ABCD jest równe 60, a promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy 2. Oblicz obwód tego prostokąta.

Strona 20 z 55
spinner