/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 9474514

W stożek o promieniu r i wysokości h wpisujemy graniastosłupy sześciokątne prawidłowe tak, że jedna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki należą do powierzchni bocznej stożka. Podaj wymiary graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Gdy narysujemy rysunek staje się jasne, że wystarczy rozważać przekrój ABC .

PIC

Z podobieństwa trójkątów AF C i DEC mamy

AF--= DE-- FC EC r-= --a--- h h− b rh− rb = ah a = r− rb . h

Stąd pole powierzchni bocznej graniastosłupa

( r ) 6r P = 6ab = 6 r− -b b = ---(hb − b2). h h

Jako funkcja zmiennej b jest to parabola o ramionach skierowanych w dół, więc wartość największą osiąga w wierzchołku, czyli dla −h h b = −2-= 2 . Wtedy a = r2 .  
Odpowiedź: Krawędź podstawy: r 2 , wysokość: h 2

Wersja PDF