/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Inne bryły/Wielościany

Zadanie nr 9544562

Trzy wychodzące z jednego wierzchołka krawędzie równoległościanu są równe a,b i c . Krawędzie a i b są prostopadłe, a krawędź c tworzy z każdą z nich kąt ostry α . Oblicz objętość równoległościanu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najtrudniejsza część tego zadania to wykonanie sensownego rysunku – i właśnie od tego zacznijmy.

PIC

W podstawie równoległościanu mamy prostokąt o bokach a i b , więc przynajmniej jedna rzecz jest prosta: pole podstawy jest równe

Pp = ab .

Do wyliczenia objętości brakuje nam więc długości wysokości – dorysujmy wysokość A 1F . Dorysujmy też wysokości ścian bocznych A 1E i A1G . Teraz powinno być już widać co dalej: wysokość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego A 1AF , a potrzebną do tego długość odcinka AF z trójkąta prostokątnego AEF (czworokąt AEF G jest prostokątem, a tak naprawdę nawet kwadratem), a odcinki AE i EF = AG z trójkątów prostokątnych A 1AE i A 1AG . Wszystko jasne, więc liczymy.

Z trójkątów prostokątnych A 1AE i A 1AG mamy

AE -----= cosα ⇒ AE = c cosα A 1A AG--- A A = cosα ⇒ AG = ccos α. 1

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny AEF .

∘ ----------- ∘ ------------ √ ---------- -- AF = AE 2 + EF2 = AE 2 + AG 2 = 2c2cos2 α = c√ 2 cosα .

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny A 1AF .

∘ ------------ ∘ --------------- ∘ ------------ √ --------- h = AA 21 − AF 2 = c2 − 2c2 cos2α = c 1 − 2co s2α = c − cos2 α.

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, bo łatwo sprawdzić, że α ∈ (4 5∘,90∘⟩ .

W takim razie objętość jest równa

--------- V = P ⋅h = abc√ − co s2α p

 
Odpowiedź: √ ---------2-- √ --------- V = abc 1 − 2 cos α = abc − co s2α

Wersja PDF