/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 2185792

Na bokach AD , AB i BC rombu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że |AL | : |LB| = k oraz KL ∥ DB , LM ∥ AC . Wyznacz wszystkie wartości k , dla których pole pięciokąta KLMCD stanowi 1116 pola rombu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy pole rombu przez P . Oczywiście wystarczy sprawdzić, kiedy pola trójkątów ALK i LBM w sumie stanowią 516 pola rombu.

PIC

Po pierwsze zauważmy, że z równoległości KL ∥ DB wynika, że trójkąty ALK i ABD są podobne. W szczególności stosunek ich pól jest równy

PALK ( AL ) 2 ------= ---- PABD ( AB ) PALK kx 2 -1--- = ------- 2P kx + x 1 k2 PALK = --⋅-------2 ⋅P 2 (k + 1)

Analogicznie uzasadniamy, że trójkąty LBM i ABC są podobne oraz

( ) 2 PLBM--= LB-- PABC AB ( ) 2 PLBM--= ---x--- 12P kx + x 1 1 PLBM = --⋅-------- ⋅P 2 (k + 1)2

Pozostało więc rozwiązać równanie

5 ---P = PALK + PLBM 1 6 2 2 -5- 1- ---k---- 1- ---1---- 16-(k+-1-)- 1 6P = 2 ⋅(k + 1)2 ⋅P + 2 ⋅ (k + 1 )2 ⋅P / ⋅ P 2 2 5(k + 1) = 8 (k + 1) 5k2 + 10k + 5 = 8k2 + 8 0 = 3k 2 − 1 0k+ 3 Δ = 100 − 36 = 64 10−--8- 1- 10-+-8- k = 6 = 3 lub k = 6 = 3.

 
Odpowiedź: k = 1 3 lub k = 3

Wersja PDF