/Szkoła średnia/Kombinatoryka

Zadanie nr 3333840

Ile jest liczb naturalnych siedmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa 4?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zastanówmy się jaka może być największa cyfra liczby siedmiocyfrowej o sumie cyfr równej 4?

Oczywiście żadna cyfra nie może być większa od 4 i jeżeli jedną z cyfr jest 4, to wszystkie pozostałe cyfry muszą być zerami. Jest tylko jedna taka liczba: 4000000.

Jeżeli największą cyfrą jest 3, to musi być jeszcze jedna jedynka i reszta to same zera. Policzmy ile jest takich liczb. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na dwa sposoby (może to być 3 lub 1), a drugą niezerową cyfrę możemy umieścić na jednej z 6 pozostałych pozycji. Jest więc

2 ⋅6 = 12

takich liczb.

Jeżeli największą cyfrą jest 2, to mamy dwie możliwości: albo są dwie dwójki, albo jedna dwójka i dwie jedynki. Jest 6 liczb z dwoma dwójkami (pierwsza musi stać na początku, a druga na jednym z pozostałych 6 miejsc). Policzmy, ile jest liczb z jedną dwójką i dwoma jedynkami. Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe dwie jedynki możemy umieścić na

( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2

sposobów, jest więc 15 takich liczb. Jeżeli na początku jest jedynka, to możliwych liczb jest

6 ⋅5 = 30

(wybieramy miejsce dla jedynki i potem dla dwójki).

Ostatnia możliwość to liczby składające się z czterech jedynek i trzech zer. Jedna jedynka musi być pierwszą cyfrą, a pozostałe 3 możemy umieścić na

( ) 6 = 6⋅-5⋅4-= 20 3 2 ⋅3

sposobów.

W sumie są więc

1+ 1 2+ 6+ 1 5+ 30+ 20 = 84

liczby spełniające warunki zadania.  
Odpowiedź: 84

Wersja PDF
spinner