Zadanie nr 6545747

Rozwiąż równanie 2n n!⋅( n) = 3 0240 .

Rozwiązanie

Przekształcamy dane równanie

( 2n) (2n)! (2n)! n !(n + 1 )(n+ 2)⋅⋅⋅2n 30240 = n!⋅ = n !⋅------ = ------= ----------------------- n n !⋅n! n! n! 30240 = (n+ 1)(n + 2)⋅ ⋅⋅(2n).

Zauważmy teraz, że prawa strona jest rosnącą funkcją (tzn. zwiększa się jeżeli zwiększamy ), więc powyższe równanie może mieć tylko jedno rozwiązanie. Próbujemy znaleźć to rozwiązanie podstawiając kolejno n = 1,2,... . Gdy to zrobimy, okaże się, że równanie jest spełnione dla n = 5 :