Zadanie nr 1778544

Ze zbioru Z = { − 1,3,4,6,8,9} losujemy bez zwracania liczby i . Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A , B, A ∪ B jeśli:
A – suma wylosowanych liczb jest nieparzysta;
B – wylosowane liczby spełniają warunek: 25 < (x − 1)2 + y2 ≤ 100 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary (uporządkowane) wylosowanych liczb to mamy

|Ω | = 6 ⋅5 = 30 .

Jeżeli suma wylosowanych liczb ma być nieparzysta, to jedna z nich musi być parzysta, a druga nieparzysta. Jest

3 ⋅3+ 3⋅3 = 18

takich par (osobno liczymy pary, gdy pierwsza liczba jest parzysta, i gdy druga liczba jest parzysta). Zatem

1-8 3- P(A ) = 3 0 = 5 .

Spróbujmy teraz rozszyfrować zdarzenie . Podany warunek oznacza, że punkt (x,y) leży w pierścieniu kołowym między okręgami o środku (1,0 ) i promieniach 5 i 10 (i może być na zewnętrznym, a na wewnętrznym nie). Jeżeli sobie to naszkicujemy, to możemy wypisać pasujące pary.

My jednak tego nie zrobimy, zamiast tego wypiszemy pary złe, czyli sprzyjające zdarzeniu – jak się okaże jest ich znacznie mniej (niektóre punkty sprawdzamy podstawiając do wzoru).

(− 1,3 ),(− 1,4 ) (3 ,− 1 ),(3 ,4) (4 ,− 1 ),(4 ,3) (6 ,9 ) (8 ,9 ) (9 ,8 ).

Zatem

′ 9 7 P(B ) = 1 − P (B ) = 1− ---= --. 30 10

Aby obliczyć prawdopodobieństwo P((A ∪ B)′) trzeba ze zdarzeń przeciwnych do wyrzucić te, w których suma liczb jest nieparzysta (bo te są w ). Pozostaną zatem