Zadanie nr 7836920

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dwa losowo wybrane wierzchołki sześciokąta foremnego o boku długości 1, są końcami odcinka o długości √ -- 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie taki sześciokąt.

Składa się on z 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości 1. Ponieważ wysokość takiego trójkąta ma długość √ - --3 2 odcinki, o których mowa w treści zadania, to krótsze przekątne sześciokąta.

Sposób I

Ile jest odcinków o końcach w wierzchołkach sześciokąta? Jest 6 boków, 3 długie przekątne i 6 krótszych przekątnych. Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi

----6-----= 2-. 6+ 3+ 6 5

Sposób II

Jeżeli wolimy znaczki od zdrowego rozsądku, to przyjmijmy, że zdarzenia elementarne to dwuelementowe zbiory wylosowanych wierzchołków, czyli

( ) |Ω | = 6 = 6-⋅5 = 1 5. 2 2

Ile jest zdarzeń sprzyjających? – z każdego wierzchołka wychodzą dwie krótsze przekątne, czyli jest ich 6 ⋅2 = 1 2 . No, prawie tyle, bo każdą policzyliśmy dwa razy (w obu końcach), więc jest ich 122= 6 . Daje nam to prawdopodobieństwo