Zadanie nr 8068188

Na trzy półki kładziemy losowo 5 książek. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jedna (i tylko jedna) z półek zostanie pusta?.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy ciągi numerów półek, na które traﬁają kolejne książki. Mamy zatem

|Ω | = 3 ⋅3 ⋅3⋅ 3⋅3 = 35.

Sposób I

Półkę, która ma być pusta możemy wybrać na 3 sposoby. Gdy to jest ustalone, to książki możemy ustawić na dwóch półkach na

2 ⋅2 ⋅2⋅ 2⋅2 = 25

sposobów. Nie wszystkie z tych ustawień są jednak dobre, bo na każdej z tych dwóch ustalonych półek ma być przynajmniej jedna książka. Dlatego musimy odjąć złe ustawienia, które są dwa: odpowiadają one sytuacjom, gdy wszystkie książki traﬁają na jedną półkę. W sumie jest więc

5 3⋅(2 − 2)

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

3⋅(25 − 2) 25 − 2 30 10 -----------= -------= ---= --. 35 34 34 27

Sposób II

Tak jak poprzednio zaczynamy od ustalenia półki, która ma być pusta – możemy to zrobić na 3 sposoby. Pozostałe dwie półki mają być zajęte, więc muszą być na nich 3 i 2, lub 4 i 1 książki. Półkę na której ma być więcej książek wybieramy na 2 sposoby. Pozostało ustalić na ile sposobów można na niej umieścić książki. W wariancie 3+ 2 możemy to zrobić na