/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 1360880

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej.

PIC

Promień r okręgu wpisanego w podstawę to 13 wysokości trójkąta w podstawie, więc jeżeli przez a oznaczymy długość krawędzi podstawy to mamy równanie

√ -- 1 a 3 r = --⋅----- = 2 √ -3 2 √ -- a--3- 1√2-- 12---3 √ -- 6 = 2 ⇒ a = 3 = 3 = 4 3 .

Możemy teraz wykorzystać informację o objętości ostrosłupa do obliczenia długości jego wysokości

-- -- 1 a2√ 3 1 48√ 3 √ -- 72 = --⋅------⋅H = -⋅ ------⋅H = 4 3H 3 4 3 4 H = -7√2--= 1√8--= 6√ 3-. 4 3 3

Pozostało teraz obliczyć żądany tangens.

√ -- ED r 2 1 3 tg α = ----= -- = -√---= -√---= ---. SE H 6 3 3 3 9

 
Odpowiedź: √ 3 -9-

Wersja PDF